Considere que na experiência de Medidas de Comprimento foram realizadas, com um paquimetro, as seguintes medidas:
Dados (i) \mathrm{x}_{\mathrm{i}}(\mathrm{mm}) \mathrm{N}_{\mathrm{i}}
1 32,4 37
2 32,8 39
3 32,6 41
4 32,5 39
a) Expresse uma leitura qualquer. (valor: 2,0 pontos)
b) Expresse o valor verdadeiro através da Teoria do Desvio Padrão da média. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Resumindo o enunciado: numa experiência de Medidas de Comprimento com paquímetro foram anotadas as leituras x_i (em mm) e suas frequências N_i:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline i & x_i\;(\text{mm}) & N_i\\hline 1 & 32,4 & 37\\\\ 2 & 32,8 & 39\\\\ 3 & 32,6 & 41\\\\ 4 & 32,5 & 39\\hline \end{array}
a) pede para expressarmos uma leitura qualquer, isto é, indicar um valor lido e sua incerteza instrumental.
b) pede para estimarmos o “valor verdadeiro” do comprimento usando a teoria do desvio-padrão da média.

Passo 2

(a) Uma leitura qualquer com paquímetro é anotada como
x = x_i \pm \Delta_{\text{inst}}
onde \Delta_{\text{inst}} é a incerteza devido à metade do valor mínimo da graduação. Como as leituras vêm com uma casa decimal em milímetros, o menor divisor é 0,1,mm, logo
\Delta_{\text{inst}} = \tfrac{0,1}{2} = 0,05\text{ mm}.
Por exemplo, para x_1=32,4,mm escrevemos
x = 32,4 \pm 0,05\text{ mm}.

Passo 3

(b) Primeiro calculamos a média ponderada \bar x usando as frequências N_i:
N = \sum_{i=1}^{4}N_i = 37+39+41+39 = 156,
\bar x = \frac{\sum_{i=1}^4 N_i\,x_i}{N} = \frac{37\cdot32,4 + 39\cdot32,8 + 41\cdot32,6 + 39\cdot32,5}{156} \approx 32,578\text{ mm}.

Passo 4

Ainda em (b), calculamos o desvio-padrão da média \sigma_{\bar x} pela fórmula (para amostra com frequências)
\sigma_{\bar x} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^4 N_i\,(x_i-\bar x)^2}{N\,(N-1)}}.
Calculando
\sum_{i=1}^4 N_i\,(x_i-\bar x)^2 \approx 3,351\;(\text{mm}^2),
temos
\sigma_{\bar x} = \sqrt{\frac{3,351}{156\times155}} \approx 0,012\text{ mm}.

Resposta

(a) Uma leitura típica pode ser, por exemplo,
x = 32,4\pm0,05\text{ mm}.
(b) Pelo desvio-padrão da média, o valor estimado é
\bar x = 32,578\pm0,012\text{ mm}.

Exercícios relacionados