Duas placas de vidro planas, com faces paralelas, estão sobre uma mesa, uma placa sobre a outra. Cada placa possui 11,0 \mathrm{~cm} de comprimento e um índice de refração de 1,55 . Uma lâmina de metal muito fina é inserida sob a extremidade da placa superior, para elevá-la ligeiramente nessa ponta, de maneira semelhante à que discutimos no Exemplo 35.4. Quando você vê as placas de vidro de cima com a luz branca refletida, observa que, a 1,15 \mathrm{~mm} da linha onde as lâminas estão em contato, a luz violeta com comprimento de onda de 400,0 \mathrm{~nm} é realçada nessa luz refletida, mas nenhuma luz visível é realçada mais perto da linha de contato.
a) A que distância da linha de contato a luz verde (com comprimento de onda de 550,0 \mathrm{~nm} ) e a luz laranja (com comprimento de onda de 600,0 \mathrm{~nm} ) serão realçadas?
b) A que distância da linha de contato as luzes violeta, verde e laranja serão novamente realçadas na luz refletida?
c) Qual é a espessura da lâmina de metal tocando nas pontas das placas?

Passo 1

O enunciado descreve duas lâminas de vidro paralelas com um filme de ar em cunha entre elas, cujo comprimento é L=11,0\text{ cm}. Ao inserir uma lâmina de metal muito fina numa extremidade, forma-se um ângulo pequeno e o espaçamento de ar cresce linearmente a partir de zero na linha de contato. Iluminando com luz branca e observando a luz refletida, aparecem franjas de interferência coloridas. Sabemos que, para interferência construtiva em reflexão numa cunha de ar (reflexão sem mudança de fase na primeira superfície e com mudança de \pi na segunda), a condição é
t = \frac{(2m-1)\,\lambda}{4},
com t espessura do ar, \lambda comprimento de onda na intensidade do ar, e m=1,2,\dots. A cunha tem espessura t(x) que cresce linearmente: t(x)=k\,x. Dado que em x=1,15\text{ mm} aparece o primeiro máximo violeta ( \lambda_v=400{,}0\text{ nm}, m=1), vamos:
1. determinar k;
2. achar x para verde e laranja no primeiro máximo ( m=1);
3. achar x para cada cor no segundo máximo ( m=2);
4. calcular a espessura máxima t(L), que é a espessura da lâmina de metal.

Passo 2

Como o primeiro máximo violeta ( m=1) ocorre em x_1=1,15\text{ mm}, temos
t_1 = t(x_1) = k\,x_1 \quad\text{e}\quad t_1 = \frac{(2\cdot1-1)\,\lambda_v}{4} = \frac{\lambda_v}{4}.
Logo,
k = \frac{t_1}{x_1} = \frac{\lambda_v/4}{x_1} = \frac{400{,}0\times10^{-9}\,\text{m}/4}{1{,}15\times10^{-3}\,\text{m}} \approx 8{,}70\times10^{-5}.

Passo 3

Para o primeiro máximo ( m=1) das luzes verde ( \lambda_g=550{,}0\text{ nm}) e laranja ( \lambda_o=600{,}0\text{ nm}), exige-se
t = \frac{\lambda}{4} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{t}{k} = \frac{\lambda/4}{k}.
Assim,
x_g = \frac{550{,}0\times10^{-9}/4}{8{,}70\times10^{-5}} \approx 1{,}58\times10^{-3}\,\text{m} = 1{,}58\text{ mm},
x_o = \frac{600{,}0\times10^{-9}/4}{8{,}70\times10^{-5}} \approx 1{,}73\times10^{-3}\,\text{m} = 1{,}73\text{ mm}.

Passo 4

No segundo máximo ( m=2), a condição é
t = \frac{(2\cdot2-1)\,\lambda}{4} = \frac{3\,\lambda}{4},
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x = \frac{(3\lambda/4)}{k}.
Para violeta:
x_{v2} = \frac{3\cdot400{,}0\times10^{-9}/4}{8{,}70\times10^{-5}} \approx 3{,}45\text{ mm}.
Para verde:
x_{g2} = \frac{3\cdot550{,}0\times10^{-9}/4}{8{,}70\times10^{-5}} \approx 4{,}74\text{ mm}.
Para laranja:
x_{o2} = \frac{3\cdot600{,}0\times10^{-9}/4}{8{,}70\times10^{-5}} \approx 5{,}18\text{ mm}.

Passo 5

A espessura da lâmina de metal é a espessura máxima da cunha em x=L=11{,}0\text{ cm}=0,110\text{ m}:
t(L) = k\,L = 8{,}70\times10^{-5}\times0,110\text{ m} \approx 9,57\times10^{-6}\text{ m} = 9{,}57\text{ \textmu m}.

Resposta

a) Verde em x_g\approx 1{,}58\text{ mm}, laranja em x_o\approx 1{,}73\text{ mm}.
b) Segunda vez: violeta em x_{v2}\approx 3{,}45\text{ mm}, verde em x_{g2}\approx 4{,}74\text{ mm}, laranja em x_{o2}\approx 5{,}18\text{ mm}.
c) Espessura da lâmina de metal t(L)\approx 9{,}57\text{ \textmu m}.

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