Uma partícula de massa m_{1} com velocidade de módulo v, choca-se frontalmente com uma outra de massa m_{2}. Após a colisão, m_{2} possui velocidade de módulo v_{2}. A massa m_{1}, chocando-se com a mesma velocidade de módulo v com uma partícula de massa m_{3}, faz com que esta adquira uma velocidade de módulo v_{3}. Os choques são elásticos e as massas m_{2} e m_{3} estão inicialmente em repouso. Calcule m_{1} \mathrm{e} v em termos de m_{2}, m_{3}, v_{2} \mathrm{e} v_{3}.

Passo 1

O enunciado descreve dois choques unidirecionais e elásticos em que uma mesma partícula de massa m_{1} e velocidade inicial de módulo v atinge, em repouso, as partículas de massas m_{2} e m_{3}, produzindo nelas, respectivamente, velocidades de módulo v_{2} e v_{3}. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do choque elástico frontal em 1D quando a segunda partícula está inicialmente em repouso.

Passo 2

Em um choque elástico frontal unidimensional com massa móvel m_{1} colidindo contra massa m_{i} em repouso, a velocidade de m_{i} após o choque é dada por
v_{i} = \frac{2\,m_{1}}{m_{1} + m_{i}}\,v.
Aqui vamos aplicar essa fórmula primeiro para i=2 e depois para i=3.

Passo 3

Escrevendo as duas equações:
v_{2} = \frac{2\,m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\,v,
v_{3} = \frac{2\,m_{1}}{m_{1} + m_{3}}\,v.
Temos assim duas equações em m_{1} e v.

Passo 4

Para eliminar v, dividimos a primeira equação pela segunda:
\frac{v_{2}}{v_{3}} = \frac{\bigl(2\,m_{1}/(m_{1}+m_{2})\bigr)\,v}{\bigl(2\,m_{1}/(m_{1}+m_{3})\bigr)\,v} = \frac{m_{1}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}}.
Multiplicando em cruz e rearranjando, obtemos
v_{2}(m_{1}+m_{2}) = v_{3}(m_{1}+m_{3}) \;\Longrightarrow\; m_{1}(v_{2}-v_{3}) = v_{3}\,m_{3} - v_{2}\,m_{2} \;\Longrightarrow\; m_{1} = \frac{v_{3}\,m_{3} - v_{2}\,m_{2}}{v_{2}-v_{3}}.

Passo 5

Para encontrar v, voltamos a uma das fórmulas iniciais. Usando
v_{2} = \frac{2\,m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\,v \;\Longrightarrow\; v = v_{2}\,\frac{m_{1}+m_{2}}{2\,m_{1}},
substituímos m_{1} do passo anterior:
m_{1}+m_{2} = \frac{v_{3}\,m_{3} - v_{2}\,m_{2}}{v_{2}-v_{3}} + m_{2} = \frac{v_{3}(m_{3}-m_{2})}{v_{2}-v_{3}},
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v = v_{2}\,\frac{\displaystyle \frac{v_{3}(m_{3}-m_{2})}{v_{2}-v_{3}}}{2\,\displaystyle \frac{v_{3}\,m_{3}-v_{2}\,m_{2}}{v_{2}-v_{3}}} = \frac{v_{2}\,v_{3}\,(m_{3}-m_{2})}{2\,(v_{3}\,m_{3}-v_{2}\,m_{2})}.

Resposta

m_{1} = \displaystyle \frac{v_{3}\,m_{3} - v_{2}\,m_{2}}{v_{2}-v_{3}},\quad v = \displaystyle \frac{v_{2}\,v_{3}\,(m_{3}-m_{2})}{2\,(v_{3}\,m_{3}-v_{2}\,m_{2})}.

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