Em três séries independentes de leituras, feitas com o mesmo instrumento e em condições similares, obteve-se os seguintes resultados para uma determinada grandeza x : \mathrm{x}_{1}=(38,30 \pm 0,10) \mathrm{mm}, \mathrm{x}_{2}=(39,40 \pm 0,15) \mathrm{mm} \mathrm{e} \mathrm{x}_{3}=(40,50 \pm 0,45) \mathrm{mm}. Determine a melhor expressão para o valor da medida da grandeza (o novo valor médio e novo desvio padrão). (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá três medições independentes de uma mesma grandeza x, cada uma com seu valor médio e desvio padrão:
x_1 = (38,30 \pm 0,10)\,\text{mm},\quad x_2 = (39,40 \pm 0,15)\,\text{mm},\quad x_3 = (40,50 \pm 0,45)\,\text{mm}.
O conteúdo aqui é combinar medições independentes para obter um único valor mais preciso. Vamos usar a média ponderada, com pesos inversamente proporcionais às variâncias, e calcular o desvio-padrão da média resultante.

Passo 2

Extraímos de cada medição o valor médio x_i e o desvio padrão \sigma_i, e definimos o peso de cada uma como
w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.
Assim:
w_1 = \frac{1}{(0,10)^2} = 100,\quad w_2 = \frac{1}{(0,15)^2} \approx 44{,}44,\quad w_3 = \frac{1}{(0,45)^2} \approx 4{,}94.

Passo 3

A média ponderada \overline{x} e seu desvio-padrão \sigma_{\overline{x}} são dados por
\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^3 w_i\,x_i}{\sum_{i=1}^3 w_i}, \qquad \sigma_{\overline{x}} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^3 w_i}}.

Passo 4

Somando os pesos:
W = \sum_{i=1}^3 w_i = 100 + 44{,}44 + 4{,}94 = 149{,}38.
Calculando a média ponderada:
\overline{x} = \frac{100\cdot38{,}30 + 44{,}44\cdot39{,}40 + 4{,}94\cdot40{,}50}{149{,}38} \approx \frac{3830 + 1751{,}11 + 200}{149{,}38} \approx 38{,}70\;\text{mm}.
E o desvio-padrão da média:
\sigma_{\overline{x}} = \sqrt{\frac{1}{149{,}38}} \approx 0,082\;\text{mm}.

Passo 5

Arredondamos o desvio-padrão para dois algarismos significativos (0,082\to0,08) e ajustamos o valor médio na mesma casa decimal:
\boxed{\overline{x} = (38,70 \pm 0,08)\,\text{mm}.}

Resposta

\overline{x} = (38,70 \pm 0,08)\,\text{mm}

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