Considere o experimento em que dois dados são lançados. Defina as variáveis aleatórias: X1= valor no 1^o dado, X2= valor no 2^O dado e Y= máximo entre os dois valores.
(a) Mostre que X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes.
(b) Mostre que X1 e Y não são variáveis aleatórias independentes.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve o lançamento de dois dados. Temos três variáveis aleatórias:
  • $ X_1 $: valor no primeiro dado,
  • $ X_2 $: valor no segundo dado,
  • $ Y $: o máximo entre os dois valores lançados.
No item (a), precisamos mostrar que $ X_1 $ e $ X_2 $ são variáveis aleatórias independentes. Para isso, vamos usar o conceito de independência de eventos na teoria das probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se a ocorrência de uma não afeta a ocorrência da outra. Matematicamente, isso significa que $ P(X_1 = x_1 e X_2 = x_2) = P(X_1 = x_1) \times P(X_2 = x_2) $ para todos os valores possíveis de $ x_1 $ e $ x_2 $.

Passo 3

Como estamos lançando dois dados justos, cada dado tem 6 faces com igual probabilidade de sair. Portanto, $ P(X_1 = x_1) = \frac{1}{6} $ e $ P(X_2 = x_2) = \frac{1}{6} $ para $ x_1, x_2 \in {1,2,3,4,5,6} $.

Passo 4

Agora, a probabilidade conjunta de $ X_1 = x_1 $ e $ X_2 = x_2 $ ocorre quando ambos os eventos acontecem simultaneamente. Como os lançamentos dos dados não influenciam um ao outro, temos $ P(X_1 = x_1 e X_2 = x_2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $.

Passo 5

Comparando as duas expressões, vemos que $ P(X_1 = x_1 e X_2 = x_2) = P(X_1 = x_1) \times P(X_2 = x_2) $. Isso confirma que $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes.

Passo 6

No item (b), queremos mostrar que $ X_1 $ e $ Y $ não são independentes. Para isso, vamos verificar se $ P(Y = y \mid X_1 = x_1) = P(Y = y) $. Se não for igual para algum $ y $ e $ x_1 $, as variáveis não são independentes.

Passo 7

Vamos calcular $ P(Y = y \mid X_1 = x_1) $. Sabemos que $ Y $ é o máximo entre $ X_1 $ e $ X_2 $. Se $ X_1 = x_1 $, então $ Y $ pode ser $ x_1 $ ou qualquer valor maior que $ x_1 $ até 6, dependendo do valor de $ X_2 $.

Passo 8

Por exemplo, se $ X_1 = 3 $, $ Y $ pode ser 3, 4, 5 ou 6. A probabilidade de $ Y = 3 $ dado que $ X_1 = 3 $ é a probabilidade de $ X_2 \leq 3 $, que é $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. Já $ P(Y = 3) $ sem condicionamento é menor, pois inclui outros casos onde $ Y = 3 $ pode acontecer.

Passo 9

Como $ P(Y = y \mid X_1 = x_1) $ varia com $ x_1 $ e não é igual a $ P(Y = y) $ para todos os $ y $ e $ x_1 $, concluímos que $ X_1 $ e $ Y $ não são independentes.

Resposta

(a) As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes.
(b) As variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ Y $ não são independentes.

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