Suponha que experimentos de Bernoulli sejam realizados de forma sequencial. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
X1= números de realizações até o 1^0 sucesso;
X2= números de realizações até o 2^0 sucesso.
As variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o problema e o que precisamos.
Enunciado (resumido): em experimentos de Bernoulli (sucesso com probabilidade , fracasso com probabilidade ) a gente define
número de tentativas até o 1º sucesso,
número de tentativas até o 2º sucesso.
Pergunta: e são independentes?
Conteúdo envolvido:
  • Definição de variável geométrica e negativa binomial;
  • Definição de independência de variáveis aleatórias;
  • Cálculo de probabilidades conjuntas versus produto de marginais.
O que vamos precisar:
  1. Saber que tem distribuição geométrica:
    .
  2. Que tem distribuição negativa binomial (2 sucessos):
    .
  3. Testar se
    = para todo .

Passo 2

Vamos ver uma prova direta e simples de que elas NÃO são independentes. Basta achar um par P(X1=i,,X2=j);neq;P(X1=i),P(X2=j) onde
P(X1=1) = p
Escolhe, por exemplo, P(X2=2) = p^2 e P(X1=1,,X2=2) = P(sucesso 1 no tiro 1 e sucesso 2 no tiro 2) = p times p = p^2 .
  1. Calcular P(X1=1),P(X2=2) = p times p^2 = p^3 :
    Se o primeiro sucesso ocorre na tentativa 1, ou seja, já bateu de cara,
    P(X1=1,,X2=2);neq;P(X1=1),P(X2=2),
  2. Calcular :
    Para ter o segundo sucesso exatamente no teste 2, precisa de dois sucessos seguidos:
  3. Calcular :
    Isso significa “primeiro sucesso na tentativa 1” e “segundo sucesso na tentativa 2”. São os mesmos dois sucessos em sequência, então
  4. Agora compara com o produto das marginais:
Vê que

mas
.
Como (para ), fica claro que
ou seja, não satisfaz a condição de independência.

Passo 3

A intuição por trás disso: “começa a contar” a partir de onde parou. Se você já sabe quando foi o primeiro sucesso, isso dá informação sobre quando virá o segundo. Logo, as duas não podem ser independentes.

Resposta

Não, e não são independentes, pois a probabilidade conjunta não se fatoriza no produto das marginais.

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