Suponha que experimentos de Bernoulli sejam realizados de forma sequencial. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
números de realizações até o
sucesso;
números de realizações até o
sucesso.
As variáveis aleatórias
e
são independentes? Justifique sua resposta.
As variáveis aleatórias
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o problema e o que precisamos.
Enunciado (resumido): em experimentos de Bernoulli (sucesso com probabilidade , fracasso com probabilidade
) a gente define
número de tentativas até o 1º sucesso,
número de tentativas até o 2º sucesso.
Pergunta: e
são independentes?
Enunciado (resumido): em experimentos de Bernoulli (sucesso com probabilidade
Pergunta:
Conteúdo envolvido:
- Definição de variável geométrica e negativa binomial;
- Definição de independência de variáveis aleatórias;
- Cálculo de probabilidades conjuntas versus produto de marginais.
O que vamos precisar:
- Saber que
tem distribuição geométrica:
. - Que
tem distribuição negativa binomial (2 sucessos):
. - Testar se
= para todo .
Passo 2
Vamos ver uma prova direta e simples de que elas NÃO são independentes. Basta achar um par
onde
Escolhe, por exemplo,
e
.
-
Calcular
:
Se o primeiro sucesso ocorre na tentativa 1, ou seja, já bateu de cara, -
Calcular
:
Para ter o segundo sucesso exatamente no teste 2, precisa de dois sucessos seguidos: -
Calcular
:
Isso significa “primeiro sucesso na tentativa 1” e “segundo sucesso na tentativa 2”. São os mesmos dois sucessos em sequência, então -
Agora compara com o produto das marginais:
Vê que
mas
.
Como (para
), fica claro que
mas
Como
ou seja, não satisfaz a condição de independência.
Passo 3
A intuição por trás disso:
“começa a contar” a partir de onde
parou. Se você já sabe quando foi o primeiro sucesso, isso dá informação sobre quando virá o segundo. Logo, as duas não podem ser independentes.
Resposta
Não,
e
não são independentes, pois a probabilidade conjunta não se fatoriza no produto das marginais.