Seja X uma variável aleatória cuja Função de Distribuição Acumulada é dada abaixo:
FX(x)=ll 0 ; & x<-2 0,1 ; & -2 <= x<-1 0,3 ; & -1 <= x<1 0,6 ; & 1 <= x<2 1 ; & x >= 2
Assinale abaixo o único item VERDADEIRO sobre a variável aleatória X :
(a) A variável aleatória X pode assumir os valores: -2,-1,0,1,2
(b) A variável aleatória X é contínua
© A variável aleatória X pode assumir valores menores ou até iguais a 1 com 30 % de chance
(d) A variável aleatória X pode assumir qualquer valor Real no intervalo fechado de -2 a 2
(e) A variável aleatória X pode assumir o valor 2 com 40 % de chance

Passo 1

Beleza, temos uma v.a. X com função de distribuição acumulada (CDF) dada por pedaços. O que cai aqui é matéria de variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade: quando a CDF dá “saltos” em certos pontos, isso significa que X é discreta nesses pontos, e a diferença entre o valor da CDF no ponto e logo antes é justamente a probabilidade de X assumir esse ponto. Vamos usar isso pra achar P(X=x) e comparar com cada alternativa.

Passo 2

Calcular os saltos da CDF em cada ponto relevante. A fórmula é
P(X = a) ;=; FX(a) ;-;limxto a^-FX(x)
Olha os pedaços:
  • Em x = -2: e logo antes (x<-2) era 0, então
    .
  • Em x = -1: e logo antes (x<−1 mas ≥−2) era 0,1, então
    .
  • Em x = 1: e logo antes (x<1 mas ≥−1) era 0,3, então
    .
  • Em x = 2: e logo antes (x<2 mas ≥1) era 0,6, então
    .
    Não há salto em 0, logo P(X=0)=0.

Passo 3

Testando (a): “X pode assumir os valores −2,−1,0,1,2.”
Na real X só assume −2, −1, 1 e 2 (P(X=0)=0). Logo (a) é falso.

Passo 4

Testando (b): “X é contínua.”
Se fosse contínua a CDF seria sem saltos e derivável, mas aqui temos saltos grandes. É variável discreta. Então (b) é falso.

Passo 5

Testando ©: “X pode assumir valores ≤1 com 30% de chance.”
Isso é P(X≤1) = F(1) = 0{,}6 = 60%, não 30%. Então © é falso.

Passo 6

Testando (d): “X pode assumir qualquer valor real em [−2,2].”
Não: só assume os pontos onde tem salto. Então (d) é falso.

Passo 7

Testando (e): “X pode assumir o valor 2 com 40% de chance.”
Como vimos, P(X=2)=0{,}4 = 40%. Então (e) é verdadeiro.

Resposta

A única alternativa verdadeira é a letra (e).

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