Considere um experimento de espalhamento de Rutherford, no qual partículas alfa, emitidas por uma amostra de radônio, com energia de 5,30 \mathrm{MeV}, incidem em uma fina folha de ouro ( Z=79 ), a qual funciona como alvo. Ao interagirem com os núcleos atômicos desse alvo, as partículas alfa sofrem espalhamento em diversos ângulos.
a) Determine a razão entre o número de partículas espalhadas em um ângulo de 30^{\circ} e o número de partículas espalhadas em um ângulo de 90^{\circ} a cada segundo. Em qual desses ângulos é detectada a maior quantidade de partículas espalhadas?
b) O resultado obtido no item (a) seria alterado caso as partículas alfa incidentes tivessem o dobro da energia? Sim ou não? Por quê?
c) Calcule o parâmetro de impacto correspondente a cada um dos dois ângulos de espalhamento citados no item (a). Expresse o resultado em f m.

Passo 1

O enunciado trata de espalhamento de Rutherford de partículas \alpha (carga Z_{1}=2) de energia E=5,30\\ \mathrm{MeV} incidentes num alvo de ouro Z_{2}=79.
Para resolver, precisamos da fórmula da seção de choque diferencial de Rutherford
\frac{d\sigma}{d\Omega} =\Bigl(\frac{k\,Z_{1}Z_{2}e^{2}}{2E}\Bigr)^{2}\frac{1}{\sin^{4}(\theta/2)},
onde usamos o valor k\,e^{2}=1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.

Passo 2

A taxa de contagem N(\theta) é proporcional a \frac{d\sigma}{d\Omega}. Logo, para dois ângulos \theta_{1} e \theta_{2},
\frac{N(\theta_{1})}{N(\theta_{2})} =\frac{\bigl[\sin^{-4}(\theta_{1}/2)\bigr]}{\bigl[\sin^{-4}(\theta_{2}/2)\bigr]} =\Bigl(\frac{\sin(\theta_{2}/2)}{\sin(\theta_{1}/2)}\Bigr)^{4}.

Passo 3

Aplicando \theta_{1}=30^{\circ} e \theta_{2}=90^{\circ}:
\sin\bigl(15^{\circ}\bigr)=0,2588,\quad \sin\bigl(45^{\circ}\bigr)=0,7071,
\frac{N(30^{\circ})}{N(90^{\circ})} =\Bigl(\frac{0,7071}{0,2588}\Bigr)^{4} \approx(2,732)^{4}\approx55{,}7.
Portanto, há cerca de 5,57\times10^{1} vezes mais partículas a 30^{\circ}. Assim, o detector em 30^{\circ} registra maior número de espalhadas.

Passo 4

A fórmula da seção de choque diferencial contém o fator \bigl(\tfrac{kZ_{1}Z_{2}e^{2}}{2E}\bigr)^{2} multiplicando igualmente ambas as contagens. Ao formar a razão N(30^{\circ})/N(90^{\circ}), este fator em E cancela. Logo, duplicar E não altera a razão, pois ela depende só dos \sin(\theta/2).

Passo 5

O parâmetro de impacto b em espalhamento de Rutherford é dado por
b(\theta) =\frac{k\,Z_{1}Z_{2}e^{2}}{2E}\,\cot\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
Usando k\,e^{2}=1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm}, tem-se
\frac{k\,Z_{1}Z_{2}e^{2}}{2E} =\frac{1,44\times(2\times79)}{2\times5,30}\\ \mathrm{fm} \approx21{,}47\\ \mathrm{fm}.

Passo 6

Para \theta=30^{\circ}: \cot(15^{\circ})\approx3{,}732, logo
b(30^{\circ})\approx21{,}47\times3{,}732\approx80{,}1\\ \mathrm{fm}.
Para \theta=90^{\circ}: \cot(45^{\circ})=1, logo
b(90^{\circ})\approx21{,}47\times1\approx21{,}5\\ \mathrm{fm}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{N(30^{\circ})}{N(90^{\circ})}\approx55{,}7. A maior quantidade é detectada em 30^{\circ}$. (b) Não; a razão independe da energia \(E porque esse fator cancela na divisão.
(c) b(30^{\circ})\approx80{,}1\\ \mathrm{fm},\quad b(90^{\circ})\approx21{,}5\\ \mathrm{fm}.)

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