O espaço entre duas esferas concêntricas de raios r_{1} e r_{2} encontra-se preenchido com um material não condutor de densidade volumétrica de carga \rho. Determine o potencial elétrico V, em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões:
r<r_{1}.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(r) para r<r_{1} num sistema esférico concêntrico cujo espaço entre r_{1} e r_{2} está preenchido por carga volumétrica uniforme \rho. Vamos usar simetria esférica e a condição de referência V(\infty)=0.

Passo 2

Pela simetria esférica, o campo elétrico radial E(r) obtém-se por Gauss. Para três regiões:
  • r<r_{1}: carga total enclausurada Q_{\rm enc}=0, logo
E(r)=0\quad(\text{para }r<r_{1}).

Passo 3

Como E(r)=0 em r<r_{1}, o potencial é constante nessa região e igual ao valor em r_{1}:
V(r)=V(r_{1}),\quad r<r_{1}.

Passo 4

Para achar V(r_{1}), usamos superposição de camadas esféricas infinitesimais. Cada casca de raio r' e espessura \d r' contém
\d q = \rho\,(4\pi r'^{2})\,\d r'
e contribui para o potencial em r_{1} com
\d V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{\d q}{r'} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,r'\,\d r'.

Passo 5

Integramos de r'=r_{1} até r'=r_{2}:
V(r_{1}) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,r'\,\d r' = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\;\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2}.

Passo 6

Concluímos que, para qualquer r<r_{1},
V(r)=V(r_{1}) =\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr).

Resposta

V(r)=\frac{\rho}{2\epsilon_{0}}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr), \quad r<r_{1}.

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