Elétrons com energia cinética K=500 \mathrm{MeV} são espalhados por um alvo de um núcleo, com raio de distribuição de carga r^{\prime}, formando um padrão de difração que possui mínimos com uma separação média de aproximadamente \theta \approx 30 Estime r^{\prime}. Use que \theta \approx \frac{\lambda}{r^{\prime}} onde \lambda é o comprimento de onda de de Broglie.

Passo 1

O enunciado diz que elétrons com energia cinética K=500\;\mathrm{MeV} são espalhados por um núcleo de raio r', formando um padrão de difração cujos mínimos têm separação angular média \theta\approx30^\circ. Para estimar r' usamos a relação de difração
\theta \approx \frac{\lambda}{r'},
onde \lambda é o comprimento de onda de de Broglie do elétron, dado por \lambda = h/p.

Passo 2

Calculamos o momento relativístico p do elétron. A energia total é
E = K + m_e c^2 = 500{,}0 + 0{,}511 = 500{,}511\;\mathrm{MeV}.
O momento vezes c é
p\,c = \sqrt{E^2 - (m_e c^2)^2} = \sqrt{(500{,}511)^2 - (0{,}511)^2}\;\mathrm{MeV} \approx 500{,}511\;\mathrm{MeV},
portanto \displaystyle p \approx \frac{500{,}511\;\mathrm{MeV}}{c}.

Passo 3

Usamos
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h\,c}{p\,c}.
Sabendo que h\,c \approx 1240\;\mathrm{MeV\,fm} e p\,c \approx 500{,}511\;\mathrm{MeV}, obtemos
\lambda \approx \frac{1240}{500{,}511}\;\mathrm{fm} \approx 2{,}48\;\mathrm{fm}.

Passo 4

Convertendo \theta=30^\circ para radianos:
\theta = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\;\mathrm{rad} \approx 0{,}524\;\mathrm{rad}.
Da relação \theta\approx\lambda/r' segue
r' \approx \frac{\lambda}{\theta} = \frac{2{,}48\;\mathrm{fm}}{0{,}524} \approx 4{,}73\;\mathrm{fm}.

Resposta

A estimativa para o raio da distribuição de carga é
r' \approx 4{,}7\;\mathrm{fm}.

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