Considere um experimento e os eventos A e B associados, tais que P(A)=1 / 2, P(B)=1 / 3 e P(A B)=1 / 4. Encontre:
a) P(A^c) e P(B^c);
b) P(A cup B);
c) P(A^c cap B^c);
d) P(A^c cup B^c);
e) P(A^c cap B).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois eventos A e B com
P(A)=tfrac12, P(B)=tfrac13, P(Acap B)=tfrac14
O que precisamos usar são as regras de probabilidade de complemento, união e interseção, além das Leis de De Morgan.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a regra do complemento que diz que
P(A^c)=1-P(A), P(B^c)=1-P(B)
Logo,
P(A^c)=1-tfrac12=tfrac12, P(B^c)=1-tfrac13=tfrac23

Passo 3

Para (b) aplicamos a fórmula da união de dois eventos:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Substituindo,
P(Acup B)=tfrac12+tfrac13-tfrac14 =tfrac612+tfrac412-tfrac312 =tfrac712

Passo 4

Na parte (c) queremos
P(A^ccap B^c)
Pela Lei de De Morgan, A^ccap B^c=(Acup B)^c, então
P(A^ccap B^c)=1-P(Acup B) =1-tfrac712 =tfrac512

Passo 5

Para (d) usamos a outra Lei de De Morgan,
A^ccup B^c=(Acap B)^c,
de modo que
P(A^ccup B^c)=1-P(Acap B) =1-tfrac14 =tfrac34

Passo 6

Em (e) calculamos
P(A^ccap B)
Note que B=(Acap B)cup(A^ccap B) é uma partição, logo
P(B)=P(Acap B)+P(A^ccap B) ;Longrightarrow; P(A^ccap B)=P(B)-P(Acap B) =tfrac13-tfrac14 =tfrac112

Resposta

a) P(A^c)=tfrac12,;P(B^c)=tfrac23
b) P(Acup B)=tfrac712
c) P(A^ccap B^c)=tfrac512
d) P(A^ccup B^c)=tfrac34
e) P(A^ccap B)=tfrac112

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