Prove que, se A e B são mutuamente exclusivos, P(A)>0 e P(B)>0, então A e B são dependentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, não podem ocorrer juntos), e ainda possuem probabilidade positiva ( P(A)>0 e P(B)>0), então eles não satisfazem a definição de independência. Vamos usar as definições:
– “Mutuamente exclusivos” significa
P(Acap B)=0
– “Independência” significa
P(Acap B)=P(A),P(B)

Passo 2

Pela hipótese de exclusão mútua temos diretamente
P(Acap B)=0

Passo 3

Pela hipótese de positividade, como P(A)>0 e P(B)>0, o produto também é estritamente positivo:
P(A),P(B)>0

Passo 4

Comparando os dois resultados:
P(Acap B)=0 e P(A),P(B)>0,
vemos que
P(Acap B)neq P(A),P(B)
Isso viola a condição de independência, logo A e B não são independentes.

Resposta

A e B são dependentes.

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