Prove que, se
e
são mutuamente exclusivos,
e
, então
e
são dependentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se dois eventos
e
são mutuamente exclusivos (ou seja, não podem ocorrer juntos), e ainda possuem probabilidade positiva (
e
), então eles não satisfazem a definição de independência. Vamos usar as definições:
– “Mutuamente exclusivos” significa
– “Independência” significa
Passo 2
Pela hipótese de exclusão mútua temos diretamente
Passo 3
Pela hipótese de positividade, como
e
, o produto também é estritamente positivo:
Passo 4
Comparando os dois resultados:
vemos que
Isso viola a condição de independência, logo
e
não são independentes.