1. A seguir temos a distribuição de frequência dos pesos de uma amostra de 45 alunos:
Pesos
Número de alunos 4 10 15 8 5 3
a) Determine a média, a moda e a mediana.
b) Determine o desvio padrão e o coeficiente de variação. O que você pode concluir?

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição de frequências dos pesos de uma amostra de n=45 alunos em classes de amplitude h=5 kg, e pede para calcular a média, a moda, a mediana, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Conteúdos usados: cálculo de média, moda e mediana em dados agrupados; fórmula do desvio padrão populacional para dados agrupados; coeficiente de variação.

Passo 2

Calcular a média aritmética aproximada bar x em dados agrupados exige os pontos médios de cada classe, multiplicados pelas frequências, e depois dividir pelo total:
Pontos médios xi:
42,5,;47,5,;52,5,;57,5,;62,5,;67,5
Produto fi xi:
4cdot 42,5 &=170, 10cdot 47,5 &=475, 15cdot 52,5 &=787,5, 8cdot 57,5 &=460, 5cdot 62,5 &=312,5, 3cdot 67,5 &=202,5
Somando e dividindo por n=45:
bar x = 170 + 475 + 787,5 + 460 + 312,5 + 202,545 = 2407,545 =53,5 kg

Passo 3

Para a moda em dados agrupados, identificamos a classe modal (maior frequência: fm=15 na classe [50,55)) e aplicamos
Moda = L + fm - fm-12fm - fm-1-fm+1;h,
onde L=50, fm-1=10, fm+1=8 e h=5:
Moda =50 + 15-102cdot15 -10 -8;5 =50 + 530-18;5 =50 + 512;5 =50 + 2,0833 approx 52,08 kg

Passo 4

Para a mediana, localizamos a classe em que o acumulado atinge n/2=22,5. O acumulado até [45,50) é 14, e até [50,55) é 29, logo a mediana está em [50,55). A fórmula é
Mediana = L + tfrac n2 - Fantfm;h,
com L=50, Fant=14, fm=15, h=5:
Mediana =50 + 22,5 -1415;5 =50 + 8,515;5 =50 + 2,8333 approx 52,83 kg

Passo 5

Para o desvio padrão populacional sigma em dados agrupados, primeiro calculamos
sum fi xi^2. Como
42,5^2cdot4&=7,225, 47,5^2cdot10&=22,562,5, 52,5^2cdot15&=41,343,75, 57,5^2cdot8&=26,450, 62,5^2cdot5&=19,531,25, 67,5^2cdot3&=13,668,75,
temos
sum fi xi^2 =130,781,25
A variância é
sigma^2 = sum fi xi^2n - bar x^2 = 130,781,2545 - (53,5)^2 =2,906,25 - 2,862,25 =44,
portanto
sigma = raiz44 approx 6,63 kg

Passo 6

O coeficiente de variação é
CV = sigmabar xtimes100% = 6,6353,5times100% approx12,4%
Conclusão: o desvio padrão é relativamente baixo frente à média (12,4 %), indicando dispersão moderada dos pesos em torno de 53,5 kg.

Resposta

Média: 53,5 kg
Moda: 52,08 kg
Mediana: 52,83 kg
Desvio padrão: 6,63 kg
Coeficiente de variação: 12,4%

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