Considere o experimento de lançar uma moeda honesta quatro vezes. Seja X : A variável aleatória que conta o número de faces cara. Responda:
c. Qual a E(X) e a Var(X) ?

Passo 1

Então, mano, o problema é o seguinte: a gente lança uma moeda justa 4 vezes e define a variável aleatória como o número de caras que saem nessas 4 jogadas. O conteúdo aqui é distribuição binomial (já que cada lance é independ​ente e tem só dois resultados: cara ou coroa).
O que a gente vai precisar:
  1. Saber que .
  2. As fórmulas de esperança e variância para essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, lembra que numa binomial com parâmetros P(X=k) ;=; binom4k,l(tfrac12r)^kl(tfrac12r)^4-k ;=;binom4k,l(tfrac12r)^4, e :
- = número de ensaios (aqui é 4).
- = probabilidade de “sucesso” (aqui é cara, ).
A probabilidade de caras é
mas, pra calcular e , a gente nem precisa somar termo a termo: existe fórmula direta.

Passo 3

Teoria da esperança na binomial:
Para E(X) ;=; n,p , vale
E(X) ;=; 4 times tfrac12 ;=; 2
Aqui, e , logo
Intuitivamente, em 4 lançamentos, você espera 2 caras em média.

Passo 4

Agora a variância. A teoria diz que, para binomial,
Var(X) ;=; n,p,(1-p)
Substituindo Var(X) = 4 times tfrac12 times l(1 - tfrac12r) = 4 times tfrac12 times tfrac12 = 1 e :
Se quiser ver de outro jeito, dá pra usar e calcular via soma, mas a fórmula acima já resume tudo.

Resposta

E e .

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