Se X sim Binomial(n, p), sabendo-se que E(X)=12 e Var(X)=3, determinar:
c. P(X<14)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que é uma variável Binomial com parâmetros desconhecidos e , e que
O que precisamos fazer:
  1. Achar e usando as fórmulas de esperança e variância da binomial.
  2. Com e em mãos, calcular , ou seja .

Passo 2

Primeiro, a teoria básica:
  • Para E(X)=np, Var(X)=np(1-p) , temos np = 12, np(1-p)=3
Então escrevemos as duas equações:

Passo 3

Agora resolvemos:
  1. Da primeira equação 12,(1-p) = 3 Longrightarrow 1-p = 312 = 14 Longrightarrow p = 34 , temos .
  2. Substituindo em :
  3. Então .
Logo, .

Passo 4

A probabilidade que queremos é
P(X<14) = sumk=0^13 binom16kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^16-k
Para facilitar, usamos o complemento:
P(X<14) = 1 - P(X>=14) = 1 - l[P(X=14)+P(X=15)+P(X=16)r]

Passo 5

Calculando os três termos de cima:
  • P(X>=14)approx 0,01002 + 0,05344 + 0,13365 = 0,19711
  • P(X<14) = 1 - 0,19711 = 0,80289approx 0,803
Somando:
Então

Resposta

.

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