Uma moeda é suspeita de ser viciada. A hipôtese nula é p(cara) =0,5. A moeda foi lançada n=200 vezes e saiu cara 118 vezes. Teste, ao nível de \alpha=0,01, se a moeda é viciada.

Passo 1

O enunciado pede para testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se uma moeda é viciada. As informações que temos são:
  • A hipótese nula é \displaystyle H_0:\; p = 0,5.
  • A hipótese alternativa, pelo enunciado “se a moeda é viciada”, é bilateral: \displaystyle H_1:\; p \neq 0,5.
  • Número de lançamentos: \displaystyle n = 200.
  • Número de caras observadas: \displaystyle x = 118.
  • Nível de significância: \displaystyle \alpha = 0,01.
Resumo do que é pedido: decidir se rejeitamos ou não \displaystyle H_0 com base nos dados \,n=200 e \,x=118, e justificar a decisão ao nível \displaystyle \alpha=0,01.

Passo 2

Escolha do método e verificação das condições (explicação didática).
  • Como queremos testar uma proporção (probabilidade de cara) com uma amostra grande ( n=200), o método mais simples e comum é o teste z para proporção (teste de uma amostra para proporção). Esse é o método básico que você aprende primeiro e serve bem quando n é grande.
  • Condição para usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções): precisamos que n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5. Aqui p_0 é a proporção sob H_0.
    • Calculamos n p_0 = 200 \cdot 0,5 = 100 e n(1-p_0)=200\cdot 0,5 = 100. Ambas são muito maiores que 5, então a aproximação normal é válida.
  • Explicando o que faremos (passo a passo conceitual):
    1. Calculamos a proporção amostral \hat p = x/n.
    2. Sob H_0, a distribuição de \hat p tem média p_0 e desvio padrão \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}. Isso vem da variância da distribuição binomial e do fato de dividir por n.
    3. Construímos a estatística padronizada (z): z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}Aqui:
      • \hat p é a proporção observada,
      • p_0 é a proporção sob H_0,
      • o denominador é o erro padrão de \hat p sob H_0.
    4. Como o teste é bilateral, com nível \alpha, usamos os quantis z_{1-\alpha/2} e z_{\alpha/2} da normal padrão para decidir se rejeitamos H_0.
    5. Alternativamente, podemos calcular o valor-p (p-value) bilateral: \text{p-valor} = 2\big(1-\Phi(|z|)\big), onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
Motivo de não usar outro método aqui: existe o teste exato de binomial, que daria um resultado mais exato sem aproximação, mas é mais trabalhoso manualmente. A aproximação normal é apropriada e suficiente para a prova dado n grande e p_0=0,5.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat p.
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{118}{200} = 0,59.
Explicação: \hat p é simplesmente a fração de caras observadas; aqui 118 caras em 200 lançamentos dão 0,59.

Passo 4

Calcular o erro padrão de \hat p sob H_0.
A fórmula do erro padrão é
\text{EP} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}.
Substituindo p_0=0,5 e n=200,
\text{EP} = \sqrt{\frac{0,5\cdot(1-0,5)}{200}} = \sqrt{\frac{0,25}{200}} = \sqrt{0,00125}.
Agora calculamos \sqrt{0,00125}. Um modo manual: 0,00125 = 1{,}25\times 10^{-3}. \sqrt{1{,}25}\approx 1{,}11803 e \sqrt{10^{-3}}=10^{-1{,}5}, mas para ser prático usamos que
\sqrt{0,00125}\approx 0,035355.
Portanto
\text{EP} \approx 0,035355.

Passo 5

Calcular a estatística de teste z.
Usamos a fórmula
z = \frac{\hat p - p_0}{\text{EP}}.
Substituindo \hat p=0,59, p_0=0,5 e \text{EP}\approx 0,035355,
z = \frac{0,59 - 0,5}{0,035355} = \frac{0,09}{0,035355} \approx 2,5456.
Interpretação: esse valor de z nos diz quantos desvios-padrão a proporção observada está longe do valor esperado sob H_0.

Passo 6

Decisão do teste e cálculo do valor-p.
  • Como o teste é bilateral e \alpha=0,01, o ponto crítico é z_{1-\alpha/2} = z_{0,995}.
    • Sabemos das tabelas da normal padrão que z_{0,995}\approx 2,5758.
  • Comparação:
    • |z| \approx 2,5456 e z_{0,995}\approx 2,5758.
    • Como |z| < z_{0,995}, a estatística não cai na região crítica; portanto não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,01.
Cálculo do valor-p bilateral (para explicar o raciocínio):
\text{p-valor} = 2\big(1-\Phi(|z|)\big).
Para |z|\approx 2,5456, a cauda direita 1-\Phi(2,5456)\approx 0,00547 (usando tabela ou calculadora). Assim
\text{p-valor} \approx 2\cdot 0,00547 = 0,01094 \approx 0,0109.
Como \text{p-valor}\approx 0,0109 > \alpha=0,01, isso confirma a decisão anterior: não rejeitamos H_0.
Interpretação em linguagem simples: com o nível de confiança exigido ( 1-\alpha = 99\%), a evidência observada (118 caras em 200 lançamentos) não é forte o suficiente para concluir que a moeda é viciada (ou seja, para afirmar que p\neq 0,5). O resultado é bem perto do limite (valor-p \approx 0,0109), então é um caso borderline — dava para rejeitar com \alpha=0,05, mas não com \alpha=0,01.

Resposta

Não rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,01. Valor-p \approx 0,0109.

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