Uma moeda é suspeita de ser viciada. A hipôtese nula é p(cara)
. A moeda foi lançada
vezes e saiu cara 118 vezes. Teste, ao nível de
, se a moeda é viciada.
Passo 1
O enunciado pede para testar, ao nível de significância
, se uma moeda é viciada. As informações que temos são:
- A hipótese nula é
. - A hipótese alternativa, pelo enunciado “se a moeda é viciada”, é bilateral:
. - Número de lançamentos:
. - Número de caras observadas:
. - Nível de significância:
.
Resumo do que é pedido: decidir se rejeitamos ou não
com base nos dados
e
, e justificar a decisão ao nível
.
Passo 2
Escolha do método e verificação das condições (explicação didática).
- Como queremos testar uma proporção (probabilidade de cara) com uma amostra grande (
), o método mais simples e comum é o teste z para proporção (teste de uma amostra para proporção). Esse é o método básico que você aprende primeiro e serve bem quando é grande. - Condição para usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções): precisamos que
e . Aqui é a proporção sob . - Calculamos
e . Ambas são muito maiores que 5, então a aproximação normal é válida.
- Calculamos
- Explicando o que faremos (passo a passo conceitual):
- Calculamos a proporção amostral
. - Sob
, a distribuição de tem média e desvio padrão . Isso vem da variância da distribuição binomial e do fato de dividir por . - Construímos a estatística padronizada (z):
Aqui: -
é a proporção observada, -
é a proporção sob , - o denominador é o erro padrão de
sob .
-
- Como o teste é bilateral, com nível
, usamos os quantis e da normal padrão para decidir se rejeitamos . - Alternativamente, podemos calcular o valor-p (p-value) bilateral:
, onde é a função de distribuição da normal padrão.
- Calculamos a proporção amostral
Motivo de não usar outro método aqui: existe o teste exato de binomial, que daria um resultado mais exato sem aproximação, mas é mais trabalhoso manualmente. A aproximação normal é apropriada e suficiente para a prova dado
grande e
.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
.
Explicação:
é simplesmente a fração de caras observadas; aqui
caras em
lançamentos dão
.
Passo 4
Calcular o erro padrão de
sob
.
A fórmula do erro padrão é
A fórmula do erro padrão é
Substituindo
e
,
Agora calculamos
. Um modo manual:
.
e
, mas para ser prático usamos que
Portanto
Passo 5
Calcular a estatística de teste
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo
,
e
,
Interpretação: esse valor de
nos diz quantos desvios-padrão a proporção observada está longe do valor esperado sob
.
Passo 6
Decisão do teste e cálculo do valor-p.
- Como o teste é bilateral e
, o ponto crítico é . - Sabemos das tabelas da normal padrão que
.
- Sabemos das tabelas da normal padrão que
- Comparação:
-
e . - Como
, a estatística não cai na região crítica; portanto não rejeitamos ao nível .
-
Cálculo do valor-p bilateral (para explicar o raciocínio):
Para
, a cauda direita
(usando tabela ou calculadora). Assim
Como
, isso confirma a decisão anterior: não rejeitamos
.
Interpretação em linguagem simples: com o nível de confiança exigido (
), a evidência observada (118 caras em 200 lançamentos) não é forte o suficiente para concluir que a moeda é viciada (ou seja, para afirmar que
). O resultado é bem perto do limite (valor-p
), então é um caso borderline — dava para rejeitar com
, mas não com
.
Resposta
Não rejeita-se
ao nível
. Valor-p
.