Considere um experimento onde elétrons são atirados contra um anteparo com duas fendas. Sabendo que estes elétrons são produzidos com uma energia cinética de 10 eV :
(a) Escreva a onda, ou o pacote de onda, associado a estes elétrons.
(b) Qual deve ser a ordem de grandeza da separação entre as fendas para que seja observada uma figura de interferência?
(c) Quanto vale o resultado acima se exatamente o mesmo experimento (inclusive a mesma energia cinética) for efetuado com prótons?

Passo 1

O enunciado descreve o experimento de dupla fenda com elétrons de energia cinética de 10:eV. Vamos usar o conceito de onda de matéria de de Broglie e a relação energia–momento para montar a função de onda, calcular o comprimento de onda e estimar a separação típica das fendas.

Passo 2

Para escrever a função de onda de uma partícula livre unidimensional com momento ,p, e energia E, usamos a solução de onda plana
psi(x,t) = A,e^ihbar(p,x - E,t)
Aqui p vem de
p = raiz2,m,E,
com m massa da partícula e E=10:eV=1,602times10^-18:J. Para o elétron ( me=9,11times10^-31:kg)
p = raiz2cdot9,11times10^-31cdot1,602times10^-18 approx1,71times10^-24:kgcdot m/s
Então o número de onda é
k = phbar approx1,71times10^-241,055times10^-34 approx1,62times10^10:m^-1,
e a pulsação
omega = Ehbar approx1,602times10^-181,055times10^-34 approx1,52times10^16:s^-1
Portanto
psi(x,t) = A,exp!l[il(1,62times10^10,x - 1,52times10^16,tr)r]

Passo 3

A figura de interferência de dupla fenda exige que a separação d entre fendas seja comparável ao comprimento de onda de de Broglie
lambda = hp approx6,626times10^-341,71times10^-24 approx3,9times10^-10:m
Logo a ordem de grandeza de d deve ser
dsimlambdasim10^-10:m(alguns décimos de nanômetro) éô

Passo 4

Se repetirmos o experimento com prótons ( mpapprox1,67times10^-27:kg) à mesma energia E=10:eV, o momento será
pp = raiz2,mp,E
e o comprimento de onda
lambdap = hpp = hraiz2,mp,E = hraiz2,!(1,67times10^-27),(1,602times10^-18) approx9,0times10^-12:m
Assim a separação das fendas para prótons deve ser da ordem de 10^-11:m.

Resposta

(a) psi(x,t) = A,exp!l[tfracihbarl(p,x - E,tr)r], com p=raiz2mE, k=p/hbarapprox1,62times10^10:m^-1 e omega=E/hbarapprox1,52times10^16:s^-1.
(b) dsimlambdaapprox3,9times10^-10:m (ordem de 10^-10:m).
(c) Para prótons lambdapapprox9,0times10^-12:m, logo dsim10^-11:m.

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