Uma partícula está presa numa caixa unidimensional de tamanho 2 L. Sabe-se que esta partícula é descrita por uma onda estacionaria dada por:
psi(x)=N sin (k x), k=piL 4, x in[-L, L]
(a) Se uma medida for feita para se detectar a posição desta partícula, quais os pontos dentro da caixa onde ela jamais será encontrada.
(b) Determine o valor de N.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito unidimensional de paredes em -L e L, cujo estado estacionário é
psi(x)=Nsin(kx), k=4piL,;xin[-L,L]
Queremos (a) os pontos onde a probabilidade |psi|^2 é zero (ou seja, onde nunca a particula é detectada) e (b) o valor de N tal que
integral-L^L|psi(x)|^2,dx=1

Passo 2

Para achar os zeros de psi, basta resolver
sin(kx)=0
ou seja
kx = mpi, minZ
Como k=4pi/L, temos
x = mpik = mpi4pi/L = mL4
Os valores de m que mantêm x em [-L,L] são m=-4,-3,dots,3,4.

Passo 3

Da sequência anterior, os pontos dentro do poço onde psi(x)=0 são
x = mL4, m=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
Em particular, excluindo-se ou não as fronteiras, as posições de nó interior são
x = -L,,-tfrac3L4,,-tfracL2,,-tfracL4,,0,,tfracL4,,tfracL2,,tfrac3L4,,L

Passo 4

Para normalizar psi, calculamos
1=integral-L^L|psi(x)|^2,dx =|N|^2integral-L^Lsin^2!l(tfrac4piLxr),dx
Como sin^2 tem valor médio 1/2 e ao longo de um número inteiro de meias-ondas em [-L,L] a integral vale L, obtemos
|N|^2,L=1 Longrightarrow N=1raizL(escolhemos N>0)

Resposta

(a) Nos nós
x = mL4, m=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,
isto é, x=-L,-tfrac3L4,-tfracL2,-tfracL4,0,tfracL4,tfracL2,tfrac3L4,L.
(b) N=dfrac1raizL.

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