Sabendo que a densidade de partículas numa coluna sob a ação gravitacional é dada por
rho(z)=rho0 exp (-m g zK T),
qual a probabilidade de encontrarmos uma partícula numa altura maior que z=H.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de partículas em função da altura z como
rho(z)=rho0exp!gl(-m g zK Tgr)
para z>=0. Queremos a probabilidade de encontrar uma partícula acima de z=H. O conteúdo aqui é transformar essa densidade numa função de probabilidade (PDF) e depois calcular a probabilidade de z>H integrando o tail da distribuição.

Passo 2

Para usar rho(z) como PDF devemos primeiro normalizá-la. Definimos
f(z)=rho(z)N,
onde
N=integral0^inftyrho(z),dz =integral0^inftyrho0exp!gl(-m g zK Tgr)dz
Fazendo a integral,
N =rho0,K Tm g,
pois integral0^inftye^-a zdz=1/a com a=tfracm gK T.

Passo 3

Agora a probabilidade de encontrarmos uma partícula acima de z=H é
P(z>H) =integralH^inftyf(z),dz =1NintegralH^inftyrho0exp!gl(-m g zK Tgr)dz
Substituindo N e fazendo a integral de cauda,
P(z>H) =1rho0,tfracK Tm g ;rho0;K Tm g,exp!gl(-m g HK Tgr) =exp!gl(-m g HK Tgr)

Resposta

P(z>H)=exp!gl(-m g HK Tgr)

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