Considere um experimento A, realizado 31 vezes ( n=31 ) e o experimento B, 16 vezes (n=16). Aplique o teste F para verificar qual o teste t apropriado para esse conjunto de dados.
A \overline{x_{1}}=50,20 s^{2}=3,90
B \overline{x_{2}}=50,33 s^{2}=5,57

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o teste F para decidir qual versão do teste t é apropriada (ou seja, decidir se podemos assumir variâncias iguais ou não). Dados fornecidos (vou listá-los todos, com atenção aos símbolos):
  • Experimento A: n_{1}=31, \overline{x}_{1}=50,20, s_{1}^{2}=3,90.
  • Experimento B: n_{2}=16, \overline{x}_{2}=50,33, s_{2}^{2}=5,57.
Pergunta explícita: aplicar o teste F para verificar qual teste t é apropriado (teste t com variâncias iguais — “pooled” — ou teste t sem assumir igualdade de variâncias — Welch).

Passo 2

Hipóteses do teste F (teste de igualdade de variâncias):
H_{0}:\\ \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\qquad\text{vs.}\qquad H_{a}:\\ \sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}.
Definição do estatístico F: para facilitar a interpretação (e porque a distribuição F é assimétrica), colocamos no numerador a variância amostral maior. Assim
F_{\text{obs}}=\frac{\text{variância maior}}{\text{variância menor}}.ââ
Os graus de liberdade associados são \nu_{1}=n_{\text{num}}-1 e \nu_{2}=n_{\text{den}}-1, onde “num” é a amostra usada no numerador e “den” a do denominador. Explico: \nu_{1} é o número de observações na amostra do numerador menos 1; mesma ideia para \nu_{2}.

Passo 3

Identificação da variância maior: olhando para os dados, s_{1}^{2}=3,90 e s_{2}^{2}=5,57. A maior é s_{2}^{2}=5,57 (do experimento B). Logo:
F_{\text{obs}}=\frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}}=\frac{5,57}{3,90}.
Fazendo a divisão (mostrando passo a passo): primeiro \dfrac{5,57}{3,90}\approx 1{,}4282. Arredondando a duas casas decimais:
F_{\text{obs}}=1{,}43.
Os graus de liberdade são
\nu_{1}=n_{2}-1=16-1=15,\qquad \nu_{2}=n_{1}-1=31-1=30.
Portanto F_{\text{obs}}=1{,}43 com (\nu_{1},\nu_{2})=(15,30).

Passo 4

Escolha do nível de significância e regra de decisão: o enunciado não deu \alpha, então adotamos o nível usual \alpha=0{,}05. Para o teste bilateral de igualdade de variâncias, devemos comparar F_{\text{obs}} com o quantil superior F_{1-\alpha/2}(\nu_{1},\nu_{2}) (porque colocamos a maior variância no numerador, o que faz F_{\text{obs}}\ge 1). Regra prática:
  • Se F_{\text{obs}}>F_{1-\alpha/2}(\nu_{1},\nu_{2}) então rejeitamos H_{0}.
  • Caso contrário, não rejeitamos H_{0} (ou seja, não há evidência para variâncias diferentes).
Observação prática: as tabelas ou softwares dão o valor crítico. Mesmo sem consultar tabela numérica aqui, é importante entender que quantis típicos F_{0{,}975}(\cdot,\cdot) para essas ordens de graus de liberdade costumam ser bem maiores do que 1{,}43 (valores críticos usuais estão tipicamente acima de 1{,}9 ou 2{,}0 para df nesta faixa). Outra forma é obter o p‑valor: como F_{\text{obs}} está bem próximo de 1, o p‑valor será grande (muito maior que 0{,}05).

Passo 5

Interpretação numérica e conclusão do teste F:
  • Calculamos F_{\text{obs}}=1{,}43 com (15,30).
  • Esse valor não é suficientemente grande para cair na região de rejeição de um teste bilateral com \alpha=0{,}05. Em palavras simples: 1{,}43 está relativamente próximo de 1, e portanto não há evidência para dizer que as variâncias das duas populações são diferentes.
Logo, não rejeitamos H_{0}: não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que \sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}.

Passo 6

Conclusão sobre qual teste t usar e como aplicá‑lo na prova (a parte didática):
  • Como não rejeitamos a igualdade de variâncias, o teste t apropriado é o teste t com variâncias iguais (teste t “pooled”, ou t de Student clássico).
  • Nesse caso, usamos a estimativa combinada (pooled) da variância amostral:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
  • O estatístico t para testar diferença de médias (por exemplo H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}) é
t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{s_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}}},
com \nu = n_{1}+n_{2}-2 graus de liberdade (aqui \nu=31+16-2=45). Eu te ensino a calcular s_{p}^{2} passo a passo na prova: multiplica cada s^{2} pelo seu n-1, soma, divide por 45, e tira raiz quadrada para obter s_{p}.
  • Se ao invés disso tivéssemos rejeitado H_{0} no teste F, o procedimento correto seria usar o teste t de Welch (não pooled), cujo estatístico é
t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}
e os graus de liberdade são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite (uma expressão um pouco mais trabalhosa que dá um valor não inteiro).

Resposta

Usar o teste t com variâncias iguais (teste t pooled), pois F_{\text{obs}}=\dfrac{5,57}{3,90}=1{,}43 com (\nu_{1},\nu_{2})=(15,30) não rejeita H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.

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