Considere um experimento A, realizado 31 vezes ( n=31 ) e o experimento B, 16 vezes (n=16). Aplique o teste F para verificar qual o teste t apropriado para esse conjunto de dados.
A
\overline{x_{1}}=50,20
s^{2}=3,90
B
\overline{x_{2}}=50,33
s^{2}=5,57
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o teste F para decidir qual versão do teste t é apropriada (ou seja, decidir se podemos assumir variâncias iguais ou não). Dados fornecidos (vou listá-los todos, com atenção aos símbolos):
Pergunta explícita: aplicar o teste F para verificar qual teste t é apropriado (teste t com variâncias iguais — “pooled” — ou teste t sem assumir igualdade de variâncias — Welch).
Passo 2
Hipóteses do teste F (teste de igualdade de variâncias):
Definição do estatístico F: para facilitar a interpretação (e porque a distribuição F é assimétrica), colocamos no numerador a variância amostral maior. Assim
Os graus de liberdade associados são \nu_{1}=n_{\text{num}}-1 e \nu_{2}=n_{\text{den}}-1, onde “num” é a amostra usada no numerador e “den” a do denominador. Explico: \nu_{1} é o número de observações na amostra do numerador menos 1; mesma ideia para \nu_{2}.
Passo 3
Identificação da variância maior: olhando para os dados, s_{1}^{2}=3,90 e s_{2}^{2}=5,57. A maior é s_{2}^{2}=5,57 (do experimento B). Logo:
Portanto F_{\text{obs}}=1{,}43 com (\nu_{1},\nu_{2})=(15,30).
Passo 4
Escolha do nível de significância e regra de decisão: o enunciado não deu \alpha, então adotamos o nível usual \alpha=0{,}05. Para o teste bilateral de igualdade de variâncias, devemos comparar F_{\text{obs}} com o quantil superior F_{1-\alpha/2}(\nu_{1},\nu_{2}) (porque colocamos a maior variância no numerador, o que faz F_{\text{obs}}\ge 1). Regra prática:
Se F_{\text{obs}}>F_{1-\alpha/2}(\nu_{1},\nu_{2}) então rejeitamos H_{0}.
Caso contrário, não rejeitamos H_{0} (ou seja, não há evidência para variâncias diferentes).
Observação prática: as tabelas ou softwares dão o valor crítico. Mesmo sem consultar tabela numérica aqui, é importante entender que quantis típicos F_{0{,}975}(\cdot,\cdot) para essas ordens de graus de liberdade costumam ser bem maiores do que 1{,}43 (valores críticos usuais estão tipicamente acima de 1{,}9 ou 2{,}0 para df nesta faixa). Outra forma é obter o p‑valor: como F_{\text{obs}} está bem próximo de 1, o p‑valor será grande (muito maior que 0{,}05).
Passo 5
Interpretação numérica e conclusão do teste F:
Calculamos F_{\text{obs}}=1{,}43 com (15,30).
Esse valor não é suficientemente grande para cair na região de rejeição de um teste bilateral com \alpha=0{,}05. Em palavras simples: 1{,}43 está relativamente próximo de 1, e portanto não há evidência para dizer que as variâncias das duas populações são diferentes.
Logo, não rejeitamos H_{0}: não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que \sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}.
Passo 6
Conclusão sobre qual teste t usar e como aplicá‑lo na prova (a parte didática):
Como não rejeitamos a igualdade de variâncias, o teste t apropriado é o teste t com variâncias iguais (teste t “pooled”, ou t de Student clássico).
Nesse caso, usamos a estimativa combinada (pooled) da variância amostral:
com \nu = n_{1}+n_{2}-2 graus de liberdade (aqui \nu=31+16-2=45). Eu te ensino a calcular s_{p}^{2} passo a passo na prova: multiplica cada s^{2} pelo seu n-1, soma, divide por 45, e tira raiz quadrada para obter s_{p}.
Se ao invés disso tivéssemos rejeitado H_{0} no teste F, o procedimento correto seria usar o teste t de Welch (não pooled), cujo estatístico é
e os graus de liberdade são aproximados pela fórmula de Welch–Satterthwaite (uma expressão um pouco mais trabalhosa que dá um valor não inteiro).
Resposta
Usar o teste t com variâncias iguais (teste t pooled), pois F_{\text{obs}}=\dfrac{5,57}{3,90}=1{,}43 com (\nu_{1},\nu_{2})=(15,30) não rejeita H_{0} ao nível \alpha=0{,}05.