Os teores de etanol no vinho do Porto podem variar entre 20 e 25 \%. Ao realizar uma série de medições nesses produtos de diferentes amostras o químico identificou um possível amostra discrepante (outlier) nos seguintes dados: 25, 5 ; 26,3 ; 27,6 ; 24,6 ; 24,9; 26, 1 ; 26,6 ; 23,9 ; 26,7 e 30,4 \mathrm{v} / \mathrm{v}. Suspeita-se que, a medição de 30,4 seja uma possivel outliers. Aplique o teste Q ( 90 \% de confiança) para verificar tal informação. Compare ainda o valor calculado com o Q ( 95 \% de confiança). Discuta ainda, porque os resultados obtidos em 90 \% de confiança são mais “conservadores” que 95 \% ?
Resposta: Teste \mathbf{Q}=\mathbf{0 , 4 1}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a medição 30,4 é um possível outlier usando o teste Q (teste de Dixon) com 90\% de confiança. Pede também comparar o valor calculado com o Q para 95\% de confiança e discutir a diferença entre os níveis de confiança. Dados fornecidos (teores de etanol, em % v/v):
\;25,5;\;26,3;\;27,6;\;24,6;\;24,9;\;26,1;\;26,6;\;23,9;\;26,7;\;30,4.

Passo 2

O que é o teste Q (Dixon) e qual fórmula usar?
  • O teste Q serve para detectar um único valor discrepante (outlier) em uma amostra pequena.
  • Quando o suspeito é o maior valor da amostra (caso aqui, 30,4), usa-se a fórmula
Q=\frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n}-x_{1}},
onde x_n é o maior valor, x_{n-1} é o segundo maior, e x_1 é o menor.
  • Interpretação: se Q > Q_{\text{crit}} (valor crítico tabelado para o tamanho da amostra n e nível de confiança desejado), então o valor suspeito é considerado outlier. Caso contrário, não rejeitamos que ele pertença à mesma população.
  • Para n=10 os valores críticos usuais (tabelas de Dixon) são, aproximadamente:
    \;Q_{\text{crit},90\%}=0,412 e \;Q_{\text{crit},95\%}=0,466.

Passo 3

Organizar os dados em ordem crescente (passo obrigatório para aplicar a fórmula corretamente):
23,9;\;24,6;\;24,9;\;25,5;\;26,1;\;26,3;\;26,6;\;26,7;\;27,6;\;30,4.
Dessa ordenação: x_1=23,9, x_{n-1}=27,6 e x_n=30,4.

Passo 4

Calcular o numerador (gap) e o denominador (amplitude) explicitamente:
  • Gap entre o maior e o segundo maior:
x_n-x_{n-1}=30,4-27,6=2,8.
  • Amplitude (máximo menos mínimo):
x_n-x_1=30,4-23,9=6,5.

Passo 5

Calcular o valor do teste Q:
Q=\frac{2,8}{6,5}=0,430769\ldots
Arredondando para três casas decimais obtemos \;Q=0,431.

Passo 6

Comparação com o valor crítico para 90\%:
Q=0,431\quad\text{e}\quad Q_{\text{crit},90\%}=0,412.
Como \;0,431>0,412, rejeitamos que 30,4 pertença à mesma população ao nível de confiança de 90\%. Conclusão: com 90\% de confiança a medição 30,4 é considerada outlier.

Passo 7

Comparação com o valor crítico para 95\%:
Q=0,431\quad\text{e}\quad Q_{\text{crit},95\%}=0,466.
Como \;0,431<0,466, não há evidência suficiente para considerar 30,4 um outlier ao nível de confiança de 95\%. Conclusão: com 95\% de confiança não se rejeita que 30,4 pertença à amostra.

Passo 8

Explicação didática sobre níveis de confiança e “conservadorismo”:
  • Nível de confiança maior (por ex. 95\%) corresponde a um critério mais rigoroso para rejeitar — isto é, Q_{\text{crit}} é maior, logo é mais difícil declarar um valor como outlier. Por isso dizemos que um teste com 95\% é mais conservador (exige mais evidência) que com 90\%.
  • Em termos práticos: ao passar de 90\% para 95\% aumentamos a exigência para rejeitar a hipótese de que o valor pertence à amostra. Assim, um resultado que é significativo a 90\% pode deixar de o ser a 95\%. No nosso caso, 30,4 é considerado outlier a 90\% mas não a 95\%.
  • Analogia rápida: exigir 95\% é como ser mais cauteloso antes de excluir uma medição; exigir 90\% é um pouco menos cauteloso.

Passo 9

Observações finais e conselho prático:
  • O teste Q detecta apenas um outlier por aplicação; se houver mais de um outlier a mesma rotina deve ser repetida com cuidado (e considerando que as tabelas mudam).
  • O teste assume amostra pequena e, idealmente, dados aproximadamente provenientes de uma população contínua; em situações críticas é bom usar, além do Q, inspeção gráfica e conhecimento do processo químico.
  • Para a sua prova: memorize a fórmula para o caso de maior suspeito, saiba ordenar os dados e calcular gap/amplitude; lembre-se de consultar a tabela de Q_{\text{crit}} para o n e nível de confiança pedidos.

Resposta

Q calculado =0,431
Com 90\% ( Q_{\text{crit}}=0,412): 30,4 é outlier (sim)
Com 95\% ( Q_{\text{crit}}=0,466): 30,4 não é outlier (não)

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