Uma série de experimentos sobre determinação de estanho em alimentos foram realizadas, as amostras ( n=6 ) foram fervidas com ácido clorídrico sob refluxo por diferentes tempos. Alguns dos resultados são mostrados abaixo:
30 min
\overline{x_{1}}=57,00
s_{1}^{2}=2,80
75 min
\overline{x_{2}}=57,83
s_{2}^{2}=2,57
A quantidade média de estanho encontrada difere significativamente ( 95 \% ) nos dois tempos de fervura?
Passo 1
O enunciado pergunta se a quantidade média de estanho encontrada difere significativamente entre os dois tempos de fervura, ao nível de confiança de 95\%.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
Não iniciar resolução aqui; só enumerei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste t para duas amostras independentes assumindo variâncias iguais (teste t com variância agrupada).
Por que? As amostras são pequenas (n=6) e as variâncias amostrais 2,80 e 2,57 são próximas, então a aproximação de variâncias iguais é razoável; esse é o procedimento padrão em provas quando as variâncias são similares e não há outra instrução.
Passo 3
Formulamos as hipóteses:
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{(as médias são iguais)}éã
H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}\quad\text{(as médias são diferentes)}éã
O teste é bilateral. Vamos calcular a estatística e comparar com o valor crítico para \alpha=0,05.
Passo 4
Calculamos a variância agrupada (pooled variance). Fórmula e explicação: a variância agrupada combina as duas estimativas amostrais de variância ponderando pelos graus de liberdade de cada amostra. A fórmula é
Calculamos o erro padrão da diferença entre médias. Fórmula e explicação: o erro padrão é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral da diferença das médias.
Interpretando: esse é o valor observado da estatística t. Para teste bilateral com \alpha=0,05 vamos comparar |t| com o crítico.
Passo 7
Graus de liberdade e valor crítico: os graus de liberdade para o teste com variância agrupada são
df=n_{1}+n_{2}-2=6+6-2=10.
O valor crítico bilateral para \alpha=0,05 é
t_{0,025,\,10}\approx 2,228.
Regra de decisão: rejeitamos H_{0} se |t|>2,228.
Passo 8
Comparação e conclusão numérica: obtivemos |t|\approx 0,878, que é bem menor que 2,228. Portanto não há evidência para rejeitar H_{0} ao nível de 95\%. Podemos também estimar o p-valor aproximado: para t=0,878 com df=10, p\approx 0,40 (bilateral), o que confirma que não é significativo.
Resposta
Não; t\approx 0,878 com df=10, p\approx 0,40. Não rejeitamos H_{0} ao nível de 95\%; as médias não diferem significativamente.