Uma série de experimentos sobre determinação de estanho em alimentos foram realizadas, as amostras ( n=6 ) foram fervidas com ácido clorídrico sob refluxo por diferentes tempos. Alguns dos resultados são mostrados abaixo:
30 min \overline{x_{1}}=57,00 s_{1}^{2}=2,80
75 min \overline{x_{2}}=57,83 s_{2}^{2}=2,57
A quantidade média de estanho encontrada difere significativamente ( 95 \% ) nos dois tempos de fervura?

Passo 1

O enunciado pergunta se a quantidade média de estanho encontrada difere significativamente entre os dois tempos de fervura, ao nível de confiança de 95\%.
Dados fornecidos (tirados da tabela do enunciado):
n_{1}=6,\quad \overline{x}_{1}=57,00,\quad s_{1}^{2}=2,80
n_{2}=6,\quad \overline{x}_{2}=57,83,\quad s_{2}^{2}=2,57
Não iniciar resolução aqui; só enumerei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste t para duas amostras independentes assumindo variâncias iguais (teste t com variância agrupada).
Por que? As amostras são pequenas ( n=6) e as variâncias amostrais 2,80 e 2,57 são próximas, então a aproximação de variâncias iguais é razoável; esse é o procedimento padrão em provas quando as variâncias são similares e não há outra instrução.

Passo 3

Formulamos as hipóteses:
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{(as médias são iguais)}éã
H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}\quad\text{(as médias são diferentes)}éã
O teste é bilateral. Vamos calcular a estatística e comparar com o valor crítico para \alpha=0,05.

Passo 4

Calculamos a variância agrupada (pooled variance). Fórmula e explicação: a variância agrupada combina as duas estimativas amostrais de variância ponderando pelos graus de liberdade de cada amostra. A fórmula é
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Substituindo os números:
s_{p}^{2}=\frac{5\cdot 2,80 + 5\cdot 2,57}{6+6-2}=\frac{5(2,80+2,57)}{10}=\frac{5\cdot 5,37}{10}=\frac{26,85}{10}=2,685.
A raiz padrão:
s_{p}=\sqrt{2,685}\approx 1,638.

Passo 5

Calculamos o erro padrão da diferença entre médias. Fórmula e explicação: o erro padrão é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral da diferença das médias.
SE=s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}.
Substituindo:
SE\approx 1,638\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=1,638\sqrt{\frac{2}{6}}=1,638\sqrt{\frac{1}{3}}=1,638\cdot 0,57735\approx 0,9456.

Passo 6

Calculamos a estatística t. Fórmula:
t=\frac{\overline{x}_{2}-\overline{x}_{1}}{SE}.
Substituindo os valores:
t=\frac{57,83-57,00}{0,9456}=\frac{0,83}{0,9456}\approx 0,878.
Interpretando: esse é o valor observado da estatística t. Para teste bilateral com \alpha=0,05 vamos comparar |t| com o crítico.

Passo 7

Graus de liberdade e valor crítico: os graus de liberdade para o teste com variância agrupada são
df=n_{1}+n_{2}-2=6+6-2=10.
O valor crítico bilateral para \alpha=0,05 é
t_{0,025,\,10}\approx 2,228.
Regra de decisão: rejeitamos H_{0} se |t|>2,228.

Passo 8

Comparação e conclusão numérica: obtivemos |t|\approx 0,878, que é bem menor que 2,228. Portanto não há evidência para rejeitar H_{0} ao nível de 95\%. Podemos também estimar o p-valor aproximado: para t=0,878 com df=10, p\approx 0,40 (bilateral), o que confirma que não é significativo.

Resposta

Não; t\approx 0,878 com df=10, p\approx 0,40. Não rejeitamos H_{0} ao nível de 95\%; as médias não diferem significativamente.

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