Na comparação de dois métodos para determinação de cromo em azevém, foram obtidos os seguintes resultados ( \mathrm{mg} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{Cr} ):
Método 1: média =1,48; desvio padrão =0,28
Método 2: média =2,33; desvio padrão =0,31
Para cada método foram feitas cinco determinações. Esses dois métodos fornecem resultados com médias significativamente diferentes em nível de 95 \% de confiança?

Passo 1

O que o problema pede: determinar se, com nível de confiança de 95\%, as médias dos dois métodos são significativamente diferentes.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
\begin{aligned} \text{Método 1: }& \bar{x}_1 = 1,48,\quad s_1 = 0,28,\quad n_1 = 5,\\\ \text{Método 2: }& \bar{x}_2 = 2,33,\quad s_2 = 0,31,\quad n_2 = 5. \end{aligned}éé

Passo 2

Escolha do teste e por quê (sem pânico, eu explico): como temos duas amostras independentes, pequenas ( n_1=n_2=5) e desvios padrões parecidos ( 0,28 e 0,31), o procedimento padrão e mais simples é o teste t para duas amostras com variâncias assumidas iguais (teste t pareado por variância agrupada, chamado pooled t-test). Esse método é básico, usa fórmulas que dá para fazer à mão na prova e é apropriado aqui. Vamos fazer um teste bicaudal porque a pergunta é se as médias são diferentes (não foi dito maior/menor).

Passo 3

Hipóteses do teste:
H_0:\\ \mu_1 = \mu_2 \quad\text{(as médias são iguais)}éã
H_1:\\ \mu_1 \neq \mu_2 \quad\text{(as médias são diferentes)}éã
Nível de significância: \alpha = 0,05 (equivalente ao nível de confiança 95\%). Como é bicaudal usamos \alpha/2 = 0,025 para cada cauda.

Passo 4

Fórmula da variância agrupada (pooled variance) e explicação das variáveis: se s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais e n_1,n_2 os tamanhos, então
s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},
onde s_p^2 é a estimativa comum da variância populacional. Vamos calcular passo a passo.
Calcule as variâncias amostrais:
s_1^2 = (0,28)^2 = 0,0784,
s_2^2 = (0,31)^2 = 0,0961.
Calcule o numerador:
(n_1-1)s_1^2 = 4 \times 0,0784 = 0,3136,
(n_2-1)s_2^2 = 4 \times 0,0961 = 0,3844.
Somando:
0,3136 + 0,3844 = 0,6980.
Agora a variância agrupada:
s_p^2 = \frac{0,6980}{n_1+n_2-2} = \frac{0,6980}{8} = 0,08725.
E o desvio padrão agrupado:
s_p = \sqrt{0,08725} \approx 0,2954.

Passo 5

Erro padrão da diferença das médias: a fórmula é
\text{SE} = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}.
Substituindo:
\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} = \sqrt{0,4} \approx 0,63246.
Logo
\text{SE} = 0,2954 \times 0,63246 \approx 0,1869.

Passo 6

Estatística de teste t: a fórmula é
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\text{SE}}.
Calculando a diferença das médias:
\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 1,48 - 2,33 = -0,85.
Então
t = \frac{-0,85}{0,1869} \approx -4,55.
(Usamos arredondamento final para dois decimais: t\approx -4,55.)

Passo 7

Graus de liberdade e comparação com valor crítico: para pooled t-test
\text{df} = n_1 + n_2 - 2 = 5 + 5 - 2 = 8.
Para \alpha=0,05 bicaudal, o valor crítico é t_{0,975,8}. Pela tabela t, temos
t_{0,975,8} \approx 2,306.
Comparando: |t| = 4,55 é muito maior que 2,306. Portanto rejeitamos H_0.
Estimativa do p-valor: com t\approx 4,55 e \text{df}=8, o p-valor bicaudal é aproximadamente 0,002 (ou seja, muito pequeno, p<0,01).

Passo 8

Conclusão em linguagem de prova e como apresentar: rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Isso significa que há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias dos dois métodos são diferentes. Na resposta da prova escreva algo como: “Teste t para duas amostras independentes (variâncias iguais): t=-4,55, \text{df}=8, p\approx0,002. Conclui-se que as médias são significativamente diferentes ao nível de 95\%.”

Resposta

Sim. As médias são significativamente diferentes ( t=-4,55, \text{df}=8, p\approx0,002).

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