Considere a integral dupla
,
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral
i)
, □
ii)
, □
Para a segunda integral:
iii)
□ , □ ].
iv)
, □
b) Tomando
como variável independente,
pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i)
□ I
ii)
□ , □ ].
c) O valor numérico de
é dado por
□ .
em que
a) Tomando
i)
ii)
Para a segunda integral:
iii)
iv)
b) Tomando
i)
□ I
ii)
c) O valor numérico de
□ .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- A função a integrar é
. - A região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelas parábolas
- A função a integrar é
- O enunciado pede:
a) Escrevercomo soma de duas integrais duplas, tomando como variável independente, preenchendo os quatro limites pedidos (i, ii, iii, iv).
b) Escrevercomo uma única integral dupla, tomando como variável independente, preenchendo os dois limites pedidos.
c) Calcular numericamente (ou, melhor dizendo, obter a expressão final exata) do valor de.
Passo 2
Primeiro eu preciso entender geometricamente a região
: são os pontos
no primeiro quadrante que satisfazem
Para saber onde as duas curvas se cruzam (ponto de separação quando trocamos a ordem de integração), resolvo
Somando
em ambos os lados:
Somando os coeficientes:
. Assim
Como estamos no primeiro quadrante tomamos
, logo o ponto de interseção tem
Passo 3
Agora descrevo a região de maneira útil para a parte (a) — tomando
como variável independente.
- Observação chave: para um dado
fixo, a condição conjunta e implica - O ponto em que os dois candidatos para o teto de
se igualam é exatamente (obtido da interseção acima). Para pequeno (perto de ) tem-se ; para próximo de a desigualdade inverte. Além disso a parcela máxima de no eixo onde a região existe é quando na segunda curva, isto é .
Portanto, ao usar
como variável externa precisamos dividir em dois intervalos:
- Para
temos . - Para
temos .
Isto responde os limites pedidos na parte (a).
Passo 4
Escrevo explicitamente as duas integrais (forma completa, só para ver a montagem — isto corresponde ao que foi pedido nos itens i–iv):
Daí os limites individuais solicitados são exatamente os que identifiquei no passo anterior.
Passo 5
Agora a parte (b): tomando
como variável independente a descrição é direta e única, porque para cada
a região em
vai de uma parábola à outra.
- Como vimos,
varia de até a interseção . - Para cada
fixo, varia de até .
Assim a integral em ordem
(com
externo) é
Passo 6
Agora calculo a integral (parte c). Vou usar a ordem
escrita no passo anterior porque a primitiva em
de
é direta.
Inner integral (em
):
Logo
Passo 7
Faço a integral em
separando em duas partes e usando a substituição padrão para integrais do tipo
.
Regra útil (explicando didaticamente): se
então
e
. Assim
para
. Vou aplicar isso em cada termo com os limites.
Seja
(portanto
). Então
Aplicando a fórmula com
na primeira e
na segunda:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 8
Agora substituo
nas expressões e simplifico cuidadosamente.
- Note a simplificação importante:
- Substituindo os valores obtidos no Passo 7:
Simplifico termo a termo: e Portanto Reagrupando os termos com :
Resposta
a)i)
a)ii)
a)iii)
a)iv)
b)i)
b)ii)
c)
a)ii)
a)iii)
a)iv)
b)i)
b)ii)
c)