Considere a integral dupla I=\int_{D} \int 15 e^{x} y d x d y,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas
x=10 y^{2} \quad \text { e } \quad x=\frac{3}{2}-\frac{3 y^{2}}{2}
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral
i) x \in[0, □
ii) y \in[0, □
Para a segunda integral:
iii) x \in[ □ , □ ].
iv) y \in[0, □
b) Tomando y como variável independente, I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i) y \in[0, \square]
□ I
ii) x \in[ □ , □ ].
c) O valor numérico de I é dado por I=
□ .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A função a integrar é 15 e^{x} y.
    • A região D está no primeiro quadrante e é delimitada pelas parábolas x = 10 y^{2} \qquad\text{e}\qquad x = \tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} y^{2}.
  • O enunciado pede:
    a) Escrever I como soma de duas integrais duplas, tomando x como variável independente, preenchendo os quatro limites pedidos (i, ii, iii, iv).
    b) Escrever I como uma única integral dupla, tomando y como variável independente, preenchendo os dois limites pedidos.
    c) Calcular numericamente (ou, melhor dizendo, obter a expressão final exata) do valor de I.

Passo 2

Primeiro eu preciso entender geometricamente a região D: são os pontos (x,y) no primeiro quadrante que satisfazem
10 y^{2} \le x \le \tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} y^{2},\qquad y\ge 0.
Para saber onde as duas curvas se cruzam (ponto de separação quando trocamos a ordem de integração), resolvo
10 y^{2} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} y^{2}.
Somando \tfrac{3}{2} y^{2} em ambos os lados:
10 y^{2} + \tfrac{3}{2} y^{2} = \tfrac{3}{2}.
Somando os coeficientes: 10 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{20}{2} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{23}{2}. Assim
\tfrac{23}{2} y^{2} = \tfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{3/2}{23/2} = \frac{3}{23}.
Como estamos no primeiro quadrante tomamos y\ge 0, logo o ponto de interseção tem
y = \sqrt{\tfrac{3}{23}},\qquad x = 10 y^{2} = 10\cdot\tfrac{3}{23}=\tfrac{30}{23}.

Passo 3

Agora descrevo a região de maneira útil para a parte (a) — tomando x como variável independente.
  • Observação chave: para um dado x fixo, a condição conjunta 10y^{2}\le x e y^{2}\le 1-\tfrac{2}{3}x implica y^{2} \le \min\!\left(\frac{x}{10},\,1-\frac{2}{3}x\right).
  • O ponto em que os dois candidatos para o teto de y^{2} se igualam é exatamente x=\tfrac{30}{23} (obtido da interseção acima). Para x pequeno (perto de 0) tem-se \dfrac{x}{10}\le 1-\dfrac{2}{3}x; para x próximo de \tfrac{3}{2} a desigualdade inverte. Além disso a parcela máxima de x no eixo onde a região existe é quando y=0 na segunda curva, isto é x=\tfrac{3}{2}.
Portanto, ao usar x como variável externa precisamos dividir em dois intervalos:
  • Para x\in[0,\tfrac{30}{23}] temos y\in[0,\sqrt{x/10}].
  • Para x\in[\tfrac{30}{23},\tfrac{3}{2}] temos y\in[0,\sqrt{1-\tfrac{2}{3}x}].
Isto responde os limites pedidos na parte (a).

Passo 4

Escrevo explicitamente as duas integrais (forma completa, só para ver a montagem — isto corresponde ao que foi pedido nos itens i–iv):
I=\int_{x=0}^{\tfrac{30}{23}}\int_{y=0}^{\sqrt{x/10}} 15 e^{x} y\,dy\,dx \;+\; \int_{x=\tfrac{30}{23}}^{\tfrac{3}{2}}\int_{y=0}^{\sqrt{1-\tfrac{2}{3}x}} 15 e^{x} y\,dy\,dx.
Daí os limites individuais solicitados são exatamente os que identifiquei no passo anterior.

Passo 5

Agora a parte (b): tomando y como variável independente a descrição é direta e única, porque para cada y a região em x vai de uma parábola à outra.
  • Como vimos, y varia de 0 até a interseção y=\sqrt{\tfrac{3}{23}}.
  • Para cada y fixo, x varia de x=10y^{2} até x=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}.
Assim a integral em ordem dx\,dy (com y externo) é
I=\int_{y=0}^{\sqrt{3/23}}\int_{x=10y^{2}}^{\,\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}} 15 e^{x} y\,dx\,dy.

Passo 6

Agora calculo a integral (parte c). Vou usar a ordem dx\,dy escrita no passo anterior porque a primitiva em x de 15 e^{x} y é direta.
Inner integral (em x):
\int_{x=10y^{2}}^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}} 15 e^{x} y\,dx =15 y \left[e^{x}\right]_{x=10y^{2}}^{x=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}} =15 y\left(e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}} - e^{10y^{2}}\right).
Logo
I = \int_{0}^{\sqrt{3/23}} 15 y\left(e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}} - e^{10y^{2}}\right) dy.

Passo 7

Faço a integral em y separando em duas partes e usando a substituição padrão para integrais do tipo \int y e^{a y^{2}} dy.
Regra útil (explicando didaticamente): se u=y^{2} então du=2y\,dy e y\,dy = \tfrac{1}{2} du. Assim
\int y e^{\alpha y^{2}} dy = \tfrac{1}{2}\int e^{\alpha u} du = \tfrac{1}{2\alpha} e^{\alpha u} + C = \tfrac{1}{2\alpha} e^{\alpha y^{2}} + C,
para \alpha\neq 0. Vou aplicar isso em cada termo com os limites.
Seja y_{0}^{2}=\tfrac{3}{23} (portanto y_{0}=\sqrt{3/23}). Então
I=15\left[ e^{\tfrac{3}{2}}\int_{0}^{y_{0}} y e^{-\tfrac{3}{2}y^{2}}dy \;-\; \int_{0}^{y_{0}} y e^{10 y^{2}} dy\right].
Aplicando a fórmula com \alpha=-\tfrac{3}{2} na primeira e \alpha=10 na segunda:
  • Primeira integral: \int_{0}^{y_{0}} y e^{-\tfrac{3}{2}y^{2}}dy =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-\tfrac{3}{2}}\left[e^{-\tfrac{3}{2}y^{2}}\right]_{0}^{y_{0}} =-\frac{1}{3}\left(e^{-\tfrac{3}{2}y_{0}^{2}}-1\right) =\frac{1}{3}\left(1-e^{-\tfrac{3}{2}y_{0}^{2}}\right).
  • Segunda integral: \int_{0}^{y_{0}} y e^{10 y^{2}} dy =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}\left[e^{10 y^{2}}\right]_{0}^{y_{0}} =\frac{1}{20}\left(e^{10 y_{0}^{2}}-1\right).

Passo 8

Agora substituo y_{0}^{2}=\tfrac{3}{23} nas expressões e simplifico cuidadosamente.
  • Note a simplificação importante: e^{\tfrac{3}{2}}\cdot e^{-\tfrac{3}{2}y_{0}^{2}} = e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{3}{23}} = e^{\tfrac{69-9}{46}}=e^{\tfrac{60}{46}}=e^{\tfrac{30}{23}}.
  • Substituindo os valores obtidos no Passo 7: I = 15\left[e^{\tfrac{3}{2}}\cdot\frac{1}{3}\left(1-e^{-\tfrac{3}{2}y_{0}^{2}}\right) \;-\;\frac{1}{20}\left(e^{10 y_{0}^{2}}-1\right)\right].Simplifico termo a termo: 15\cdot\frac{1}{3}e^{\tfrac{3}{2}}\left(1-e^{-\tfrac{3}{2}y_{0}^{2}}\right)=5\left(e^{\tfrac{3}{2}}-e^{\tfrac{30}{23}}\right),e 15\cdot\frac{1}{20}\left(e^{10 y_{0}^{2}}-1\right)=\tfrac{3}{4}\left(e^{\tfrac{30}{23}}-1\right).Portanto I=5\left(e^{\tfrac{3}{2}}-e^{\tfrac{30}{23}}\right)-\tfrac{3}{4}\left(e^{\tfrac{30}{23}}-1\right).Reagrupando os termos com e^{30/23}: I=5 e^{\tfrac{3}{2}} -\Bigl(5+\tfrac{3}{4}\Bigr)e^{\tfrac{30}{23}} +\tfrac{3}{4} =5 e^{\tfrac{3}{2}} -\tfrac{23}{4}e^{\tfrac{30}{23}} +\tfrac{3}{4}.

Resposta

a)i) x\in[0,\tfrac{30}{23}]
a)ii) y\in[0,\sqrt{x/10}]
a)iii) x\in[\tfrac{30}{23},\tfrac{3}{2}]
a)iv) y\in[0,\sqrt{1-\tfrac{2}{3}x}]
b)i) y\in[0,\sqrt{3/23}]
b)ii) x\in[\,10y^{2},\,\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}y^{2}\,]
c) \displaystyle I=5 e^{\tfrac{3}{2}} -\tfrac{23}{4}e^{\tfrac{30}{23}} +\tfrac{3}{4}

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