Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} d A,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=8 e x^{2}+y^{2}=7 x.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{1}+I_{2}.
Supondo que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{1} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{2}, tem-se que:
a primeira integral dupla é
I_{1}=\square
e a segunda integral dupla é
I_{2}=\square
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b) Tomando y como variável independente, I deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
I=\square
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c) Ao utilizar coordenadas polares, I também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{3}+I_{4}.
Supondo que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I_{3} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I_{4}, tem-se que:
i) os limitantes de integração de I_{3} são:
\theta \in[0, \square]
r \in[0, \square]
ii) os limitantes de integração de I_{4} são:
\begin{aligned} & \theta \in[\square] \\\ & r \in[0, \square] \end{aligned}
Além disso, após transformar o integrando para coordenadas polares, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
f \cdot d A=\square d r d \theta

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Enunciado: I=\iint_{D} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dA, onde D é a região do primeiro quadrante que está simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=8 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=7x.
  • O enunciado pede:
    a) escrevê-la em coordenadas cartesianas tomando x como variável independente — isto é, em forma \iint dy\,dx — e, por causa da geometria, dividir I em duas integrais I=I_{1}+I_{2}, indicando explicitamente I_{1} e I_{2}; supõe-se que os limites de x em I_{1} são menores ou iguais aos de I_{2}.
    b) escrevê-la em coordenadas cartesianas tomando y como variável independente — isto é, em forma \iint dx\,dy — como UMA única integral dupla com os limites corretos.
    c) usar coordenadas polares e escrever I=I_{3}+I_{4} (duas integrais), com os limites de \theta e r indicados e transformar o integrando f\cdot dA em dr\,d\theta.
Agora vou montar a resolução passo a passo e ensinar cada conceito necessário para montar esses limites.

Passo 2

Primeiro — achar as interseções e escrever as curvas como funções adequadas.
  • Igualando as equações das circunferências: x^{2}+y^{2}=8 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=7xigualando os lados direitos obtemos 8=7x, portanto x=\frac{8}{7}.
  • Substituindo em x^{2}+y^{2}=8 para achar y: y^{2}=8-x^{2}=8-\left(\frac{8}{7}\right)^{2}=8-\frac{64}{49}=\frac{392-64}{49}=\frac{328}{49}.Logo a coordenada y de interseção no primeiro quadrante é y=\frac{\sqrt{328}}{7}=\frac{2\sqrt{82}}{7}.
  • Expressões das curvas como funções de x (ramos superiores, já que estamos no 1.º quadrante y\ge0): y=\sqrt{8-x^{2}} \qquad\text{(da circunferência centrada na origem)}ê
y=\sqrt{7x-x^{2}}=\sqrt{x(7-x)} \qquad\text{(da circunferência com centro em \((7/2,0)\)).}ê
Observação útil: comparar as expressões quadradas é simples: 8-x^{2} e 7x-x^{2}. A diferença é 8-(7x)=8-7x. Assim, para decidir qual é menor basta ver o sinal de 8-7x.

Passo 3

Montar a decomposição em duas integrais com x como variável independente (ou seja, integraremos primeiro em y, depois em x).
  • Comparação direta: 7x-x^{2}\le 8-x^{2} se, e somente se, 7x\le 8, isto é, x\le \dfrac{8}{7}. Isso mostra que:
    • Para 0\le x\le \dfrac{8}{7}, a curva y=\sqrt{7x-x^{2}} está abaixo (menor) que y=\sqrt{8-x^{2}}. Portanto o teto da região comum é y=\sqrt{7x-x^{2}} nesse intervalo de x.
    • Para \dfrac{8}{7}\le x\le \sqrt{8} (o máximo possível em x vindo da circunferência x^{2}+y^{2}=8 é x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}), a curva menor (teto) é y=\sqrt{8-x^{2}}.
  • Projeção de D no eixo x: a região começa em x=0 (eixo y) e termina onde a circunferência x^{2}+y^{2}=8 intercepta o eixo x, ou seja x=\sqrt{8}. Entre 0 e \dfrac{8}{7} o teto é \sqrt{7x-x^{2}}; entre \dfrac{8}{7} e \sqrt{8} o teto é \sqrt{8-x^{2}}. O chão para ambas as faixas é y=0 (primeiro quadrante).
  • Portanto é natural escrever I=I_{1}+I_{2} com: I_{1}=\int_{x=0}^{\frac{8}{7}}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{7x-x^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dy\right)dx,
I_{2}=\int_{x=\frac{8}{7}}^{\sqrt{8}}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{8-x^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dy\right)dx.
Explicação didática rápida: ao tomar x como variável independente (outer integral em x), para cada x fixo devemos olhar a interseção vertical da região com a linha x= constante; essa interseção vai de y=0 até o menor dos dois ramos y das circunferências — por isso a divisão em duas faixas de x.

Passo 4

Detalhes que ajudam na prova: justifique os limites numericamente e a ordem das integrais.
  • O ponto crítico em x onde os tetos se cruzam é x=\dfrac{8}{7}, que encontramos pela interseção; para x abaixo disso a curva da circunferência centrada em (7/2,0) é o teto; para x acima é a circunferência centrada na origem.
  • O limite superior \sqrt{8}=2\sqrt{2} é o valor máximo de x ainda dentro da circunferência x^{2}+y^{2}=8 no primeiro quadrante.

Passo 5

Agora escrever I tomando y como variável independente (ou seja, integrar primeiro em x, depois em y).
  • Para um y fixo (no primeiro quadrante) os pontos de D devem satisfazer simultaneamente x^{2}+y^{2}\le 8 e x^{2}+y^{2}\le 7x. A primeira dá x\le \sqrt{8-y^{2}} (e também x\ge -\sqrt{8-y^{2}}, mas no 1.º quadrante só interessa a parte positiva). A segunda é uma desigualdade quadrática em x: x^{2}-7x+y^{2}\le 0.As raízes da equação associada x^{2}-7x+y^{2}=0 são x=\frac{7\pm\sqrt{49-4y^{2}}}{2}.No primeiro quadrante a região interior a essa circunferência corresponde a x entre x_{\text{left}}=\frac{7-\sqrt{49-4y^{2}}}{2} \quad\text{e}\quad x_{\text{right}}=\frac{7+\sqrt{49-4y^{2}}}{2}.
  • Para estar dentro de ambas as circunferências, x deve simultaneamente ficar entre x_{\text{left}} e x_{\text{right}} e também satisfazer 0\le x\le \sqrt{8-y^{2}}. Em prática o intervalo de x que nos interessa é x\in\left[x_{\text{left}},\,\sqrt{8-y^{2}}\right],desde que x_{\text{left}}\le \sqrt{8-y^{2}}. O valor máximo de y para o qual esse conjunto é não vazio é exatamente o y da interseção das duas circunferências, isto é y_{\max}=\frac{2\sqrt{82}}{7}.Para y entre 0 e y_{\max} temos x_{\text{left}}\le\sqrt{8-y^{2}}. Para y>y_{\max} a interseção é vazia.
  • Assim a integral única em ordem dx\,dy é I=\int_{y=0}^{\frac{2\sqrt{82}}{7}}\left(\int_{x=\frac{7-\sqrt{49-4y^{2}}}{2}}^{\sqrt{8-y^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dx\right)dy.

Passo 6

Coordenadas polares — transformar as curvas e o integrando, e achar a divisão angular. (Vou explicar a lógica da escolha dos intervalos.)
  • Em coordenadas polares sabemos que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}. As duas curvas viram: x^{2}+y^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad r= \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
x^{2}+y^{2}=7x \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=7(r\cos\theta)\quad\Longrightarrow\quad r=7\cos\theta
(a solução r=0 também existe mas a curva não-trivial é r=7\cos\theta; lembrando que no primeiro quadrante \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \cos\theta\ge0, então r=7\cos\theta é admissível).
  • Em cada direção \theta o ponto da região D satisfaz r\le \min\{2\sqrt{2},\,7\cos\theta\}. Para decidir qual é o mínimo, achamos o ângulo \theta_{0} onde as duas curvas se intersectam: 2\sqrt{2}=7\cos\theta_{0} \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta_{0}=\frac{2\sqrt{2}}{7}.Portanto \theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2\sqrt{2}}{7}\right).
  • Para 0\le\theta\le\theta_{0} temos 7\cos\theta\ge 7\cos\theta_{0}=2\sqrt{2}, logo o mínimo é 2\sqrt{2} e então r\in[0,2\sqrt{2}].
    Para \theta_{0}\le\theta\le \tfrac{\pi}{2} temos 7\cos\theta\le 2\sqrt{2}, logo o mínimo é 7\cos\theta e então r\in[0,7\cos\theta].
  • Assim a separação em duas integrais polares é natural, com \theta variando primeiro em [0,\theta_{0}] (onde r vai até 2\sqrt{2}) e depois em [\theta_{0},\tfrac{\pi}{2}] (onde r vai até 7\cos\theta).

Passo 7

Transformar o integrando e o diferencial de área para coordenadas polares e escrever f\cdot dA.
  • O integrando f(x,y)=x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2} em polares: x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.Substituindo: f=r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot(r^{2})^{2}=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r^{4}=r^{6}\cos\theta\sin\theta.
  • O diferencial de área em polares é dA=r\,dr\,d\theta. Multiplicando, f\cdot dA = r^{6}\cos\theta\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{7}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Portanto as duas integrais polares são I_{3}=\int_{\theta=0}^{\theta_{0}}\left(\int_{r=0}^{2\sqrt{2}} r^{7}\cos\theta\sin\theta\,dr\right)d\theta,
I_{4}=\int_{\theta=\theta_{0}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_{r=0}^{7\cos\theta} r^{7}\cos\theta\sin\theta\,dr\right)d\theta,
com \theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\right).

Passo 8

Resumo — recolhendo as expressões finais que preenchem os quadros pedidos pelo enunciado. (A seguir estão as fórmulas finais prontas para comparar com o gabarito.)

Resposta

I_{1}=\displaystyle \int_{x=0}^{\frac{8}{7}}\!\!\left(\int_{y=0}^{\sqrt{7x-x^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dy\right)dx
I_{2}=\displaystyle \int_{x=\frac{8}{7}}^{\sqrt{8}}\!\!\left(\int_{y=0}^{\sqrt{8-x^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dy\right)dx
I=\displaystyle \int_{y=0}^{\frac{2\sqrt{82}}{7}}\!\!\left(\int_{x=\frac{7-\sqrt{49-4y^{2}}}{2}}^{\sqrt{8-y^{2}}} x y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}\,dx\right)dy
\theta\in\bigl[0,\;\operatorname{arccos}\!\bigl(\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\bigr)\bigr]
r\in\bigl[0,\;2\sqrt{2}\bigr]
\theta\in\bigl[\operatorname{arccos}\!\bigl(\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\bigr),\;\tfrac{\pi}{2}\bigr]
r\in\bigl[0,\;7\cos\theta\bigr]
f\cdot dA = r^{7}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta

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