Considere a integral dupla
,
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
e a segunda integral dupla é
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta)
c) Ao utilizar coordenadas polares,
também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
i) os limitantes de integração de
são:
ii) os limitantes de integração de
são:
Além disso, após transformar o integrando para coordenadas polares, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
em que
a) Tomando
a primeira integral dupla é
b) Tomando
c) Ao utilizar coordenadas polares,
Supondo que os limitantes de integração de
i) os limitantes de integração de
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Enunciado:
, onde é a região do primeiro quadrante que está simultaneamente interior às circunferências - O enunciado pede:
a) escrevê-la em coordenadas cartesianas tomandocomo variável independente — isto é, em forma — e, por causa da geometria, dividir em duas integrais , indicando explicitamente e ; supõe-se que os limites de em são menores ou iguais aos de .
b) escrevê-la em coordenadas cartesianas tomandocomo variável independente — isto é, em forma — como UMA única integral dupla com os limites corretos.
c) usar coordenadas polares e escrever(duas integrais), com os limites de e indicados e transformar o integrando em .
Agora vou montar a resolução passo a passo e ensinar cada conceito necessário para montar esses limites.
Passo 2
Primeiro — achar as interseções e escrever as curvas como funções adequadas.
- Igualando as equações das circunferências:
igualando os lados direitos obtemos , portanto - Substituindo em
para achar : Logo a coordenada de interseção no primeiro quadrante é - Expressões das curvas como funções de
(ramos superiores, já que estamos no 1.º quadrante ):
Observação útil: comparar as expressões quadradas é simples:
e
. A diferença é
. Assim, para decidir qual é menor basta ver o sinal de
.
Passo 3
Montar a decomposição em duas integrais com
como variável independente (ou seja, integraremos primeiro em
, depois em
).
- Comparação direta:
se, e somente se, , isto é, . Isso mostra que: - Para
, a curva está abaixo (menor) que . Portanto o teto da região comum é nesse intervalo de . - Para
(o máximo possível em vindo da circunferência é ), a curva menor (teto) é .
- Para
- Projeção de
no eixo : a região começa em (eixo ) e termina onde a circunferência intercepta o eixo , ou seja . Entre e o teto é ; entre e o teto é . O chão para ambas as faixas é (primeiro quadrante). - Portanto é natural escrever
com:
Explicação didática rápida: ao tomar
como variável independente (outer integral em
), para cada
fixo devemos olhar a interseção vertical da região com a linha
constante; essa interseção vai de
até o menor dos dois ramos
das circunferências — por isso a divisão em duas faixas de
.
Passo 4
Detalhes que ajudam na prova: justifique os limites numericamente e a ordem das integrais.
- O ponto crítico em
onde os tetos se cruzam é , que encontramos pela interseção; para abaixo disso a curva da circunferência centrada em é o teto; para acima é a circunferência centrada na origem. - O limite superior
é o valor máximo de ainda dentro da circunferência no primeiro quadrante.
Passo 5
Agora escrever
tomando
como variável independente (ou seja, integrar primeiro em
, depois em
).
- Para um
fixo (no primeiro quadrante) os pontos de devem satisfazer simultaneamente e . A primeira dá (e também , mas no 1.º quadrante só interessa a parte positiva). A segunda é uma desigualdade quadrática em : As raízes da equação associada são No primeiro quadrante a região interior a essa circunferência corresponde a entre - Para estar dentro de ambas as circunferências,
deve simultaneamente ficar entre e e também satisfazer . Em prática o intervalo de que nos interessa é desde que . O valor máximo de para o qual esse conjunto é não vazio é exatamente o da interseção das duas circunferências, isto é Para entre e temos . Para a interseção é vazia. - Assim a integral única em ordem
é
Passo 6
Coordenadas polares — transformar as curvas e o integrando, e achar a divisão angular. (Vou explicar a lógica da escolha dos intervalos.)
- Em coordenadas polares sabemos que
, e . As duas curvas viram:
(a solução
também existe mas a curva não-trivial é
; lembrando que no primeiro quadrante
e
, então
é admissível).
- Em cada direção
o ponto da região satisfaz . Para decidir qual é o mínimo, achamos o ângulo onde as duas curvas se intersectam: Portanto - Para
temos , logo o mínimo é e então .
Paratemos , logo o mínimo é e então . - Assim a separação em duas integrais polares é natural, com
variando primeiro em (onde vai até ) e depois em (onde vai até ).
Passo 7
Transformar o integrando e o diferencial de área para coordenadas polares e escrever
.
- O integrando
em polares: Substituindo: - O diferencial de área em polares é
. Multiplicando, - Portanto as duas integrais polares são
com
.
Passo 8
Resumo — recolhendo as expressões finais que preenchem os quadros pedidos pelo enunciado. (A seguir estão as fórmulas finais prontas para comparar com o gabarito.)