Considere a expressão I=integral1^2 integral0^raiz2 x-x^2 raizx^2+y^2x+y d y d x.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.

Passo 1

Neste exercício, vamos reescrever uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Isso envolve entender os limites de integração atuais e determinar como eles se comportam quando trocamos a ordem de integração. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre regiões de integração e mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, observamos a integral original:
I = integral1^2 integral0^raiz2x - x^2 raizx^2 + y^2x + y , dy , dx
Aqui, $ x $ varia de 1 a 2, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{2x - x^{2}} $.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para $ y $ e $ x $. A expressão $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $ pode ser rearranjada para:
y
x
y = raiz2x - x^2
Isso representa uma circunferência com centro em (1, 0) e raio 1.

Passo 4

Analisando a região de integração, para $ y $ variando de 0 a 1 (já que a raiz quadrada deve ser real e não negativa), o valor de $ x $ varia de 1 até $ 1 + \sqrt{1 - y^{2}} $. Portanto, os novos limites serão:
  • $ y $ de 0 a 1
  • $ x $ de 1 a $ 1 + \sqrt{1 - y^{2}} $

Resposta

A expressão reescrita com a ordem de integração invertida é:
I = integral0^1 integral1^1 + raiz1 - y^2 raizx^2 + y^2x + y , dx , dy

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