Considere a expressão
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(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
Passo 1
Neste exercício, vamos reescrever uma integral dupla invertendo a ordem de integração. Isso envolve entender os limites de integração atuais e determinar como eles se comportam quando trocamos a ordem de integração. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre regiões de integração e mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, observamos a integral original:
Aqui, $ x $ varia de 1 a 2, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{2x - x^{2}} $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para $ y $ e $ x $. A expressão $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $ pode ser rearranjada para:
Isso representa uma circunferência com centro em (1, 0) e raio 1.
Passo 4
Analisando a região de integração, para $ y $ variando de 0 a 1 (já que a raiz quadrada deve ser real e não negativa), o valor de $ x $ varia de 1 até $ 1 + \sqrt{1 - y^{2}} $. Portanto, os novos limites serão:
- $ y $ de 0 a 1
- $ x $ de 1 a $ 1 + \sqrt{1 - y^{2}} $
Resposta
A expressão reescrita com a ordem de integração invertida é: