Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região
delimitada simultaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente
como variável independente e após tomando
como variável independente.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para montar as integrais duplas que dão a área do conjunto R cujo contorno é formado pelas quatro curvas y=x^2−1, y=1−x, y=4x/3+12 e y=12−9x/2. Vamos usar primeiro a ordem dy dx (x independente) e depois dx dy (y independente).
Passo 2
Para entender R, calculamos os pontos de interseção relevantes: 1) parabola × linha y=1−x em x=−2 (y=3) e x=1 (y=0); 2) parabola × linha y=4x/3+12 em x=−3 (y=8); 3) parabola × linha y=12−9x/2 em x=2 (y=3); 4) linha y=4x/3+12 × linha y=12−9x/2 em x=0 (y=12). Esses cinco pontos fecham R, com arcos da parábola em [−3,−2] e [1,2] e segmentos lineares nos outros lados.
Passo 3
Na ordem dy dx o intervalo de x onde R existe é x∈[−3,2], mas a curva superior muda de ramo em três trechos: para x∈[−3,−2] o teto é y=4x/3+12, para x∈[−2,1] o teto é y=1−x, e para x∈[1,2] o teto é y=12−9x/2. O piso em todos os casos é y=x^2−1. Assim a área fica soma de três integrais:
Passo 4
Para montar dx dy, vemos que y varia de y_min=−1 (vértice da parábola) até y_max=12 (interseção das duas linhas). Em cada faixa de y o limite em x é dado por diferentes curvas: de y∈[−1,0] R está entre as duas ramificações x=±√(y+1) da parábola; de y∈[0,3] entre x=−√(y+1) e x=1−y; de y∈[3,8] entre x=−√(y+1) e x=(24−2y)/9; de y∈[8,12] entre x=3(y−12)/4 e x=(24−2y)/9. Isso gera quatro integrais em dx dy:
Resposta
A área de R pode ser escrita como
a) em ordem dy dx:
a) em ordem dy dx:
b) em ordem dx dy: