Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região R delimitada simultaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente x como variável independente e após tomando y como variável independente.
(a) y=x^2-1, y=1-x, y=4 x3+12 e y=12-9 x2.

Passo 1

O enunciado pede para montar as integrais duplas que dão a área do conjunto R cujo contorno é formado pelas quatro curvas y=x^2−1, y=1−x, y=4x/3+12 e y=12−9x/2. Vamos usar primeiro a ordem dy dx (x independente) e depois dx dy (y independente).

Passo 2

Para entender R, calculamos os pontos de interseção relevantes: 1) parabola × linha y=1−x em x=−2 (y=3) e x=1 (y=0); 2) parabola × linha y=4x/3+12 em x=−3 (y=8); 3) parabola × linha y=12−9x/2 em x=2 (y=3); 4) linha y=4x/3+12 × linha y=12−9x/2 em x=0 (y=12). Esses cinco pontos fecham R, com arcos da parábola em [−3,−2] e [1,2] e segmentos lineares nos outros lados.

Passo 3

Na ordem dy dx o intervalo de x onde R existe é x∈[−3,2], mas a curva superior muda de ramo em três trechos: para x∈[−3,−2] o teto é y=4x/3+12, para x∈[−2,1] o teto é y=1−x, e para x∈[1,2] o teto é y=12−9x/2. O piso em todos os casos é y=x^2−1. Assim a área fica soma de três integrais:
integralx=-3^-2integraly=x^2-1^4x3+12dy,dx;+ integralx=-2^1integraly=x^2-1^1-xdy,dx;+ integralx=1^2integraly=x^2-1^12-9x2dy,dx

Passo 4

Para montar dx dy, vemos que y varia de y_min=−1 (vértice da parábola) até y_max=12 (interseção das duas linhas). Em cada faixa de y o limite em x é dado por diferentes curvas: de y∈[−1,0] R está entre as duas ramificações x=±√(y+1) da parábola; de y∈[0,3] entre x=−√(y+1) e x=1−y; de y∈[3,8] entre x=−√(y+1) e x=(24−2y)/9; de y∈[8,12] entre x=3(y−12)/4 e x=(24−2y)/9. Isso gera quatro integrais em dx dy:
integraly=-1^0integralx=-raizy+1^raizy+1dx,dy;+ integraly=0^3integralx=-raizy+1^1-ydx,dy;+ integraly=3^8integralx=-raizy+1^24-2y9dx,dy;+ integraly=8^12integralx=3(y-12)4^24-2y9dx,dy

Resposta

A área de R pode ser escrita como
a) em ordem dy dx:
integralx=-3^-2integraly=x^2-1^4x3+12dy,dx +integralx=-2^1integraly=x^2-1^1-xdy,dx +integralx=1^2integraly=x^2-1^12-9x2dy,dx
b) em ordem dx dy:
integraly=-1^0integralx=-raizy+1^raizy+1dx,dy +integraly=0^3integralx=-raizy+1^1-ydx,dy +integraly=3^8integralx=-raizy+1^24-2y9dx,dy +integraly=8^12integralx=3(y-12)4^24-2y9dx,dy

Exercícios relacionados