Escreva a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x^2+y^2=20 e y=x^2, usando:
(a) x como variável independente;

Passo 1

O enunciado pede a área da menor região limitada pelas curvas x^2+y^2=20 (um círculo de raio raiz20) e y=x^2 (uma parábola). Vamos usar cálculo de área via integral dupla em coordenadas cartesianas, tomando x como variável externa. Precisamos achar os pontos de interseção e os limites de integração em x e y.

Passo 2

Para encontrar as interseções, substituímos y=x^2 na equação do círculo:
x^2 + (x^2)^2 = 20 Longrightarrow x^4 + x^2 - 20 = 0
Fazendo u=x^2, temos u^2+u-20=0, cujas raízes são u=4 e u=-5. Como x^2>=0, fica x^2=4, isto é, x=pm2.

Passo 3

Portanto, o intervalo de x é de -2 a 2. Para cada x fixo, y varia da curva inferior y=x^2 até a curva superior y=raiz20-x^2.

Passo 4

Assim, a integral dupla que dá a área é:
A = integralx=-2^2 integraly=x^2^y=raiz20 - x^2 dy,dx

Resposta

A = integral-2^2 integralx^2^raiz20 - x^2 dy,dx

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