Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
© Utilize uma das expressões encontradas nos itens anteriores para calcular o valor numérico de
.
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
© Utilize uma das expressões encontradas nos itens anteriores para calcular o valor numérico de
Passo 1
O enunciado pede para calcular numéricamente
usando uma das expressões obtidas nos itens anteriores. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares para integrar sobre a região no primeiro quadrante limitada pela reta
Passo 2
Vamos descrever a região e fazer a troca para coordenadas polares. Observamos que a região é
o que em polares equivale a
pois a reta
corresponde a
e o círculo
a
.
Passo 3
Em coordenadas polares fazemos
,
e
. A função fica
e o elemento de área é
Passo 4
Montamos então o integral em polares:
$$I=\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{1}(2\cos\theta+4\sin\theta),r,dr,d\theta.
ficando
Passo 5
Agora integramos em
:
Então
$$I=\bigl[\sin\theta-2\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/4}
=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}-2\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-\bigl(0-2\cdot1\bigr)
=2-\tfrac{\sqrt2}{2}.$$
Passo 6
Encontramos portanto o valor numérico de
.