Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
© Utilize uma das expressões encontradas nos itens anteriores para calcular o valor numérico de .

Passo 1

O enunciado pede para calcular numéricamente
I=integral0^raiz22integraly^raiz1-y^22x+4yraizx^2+y^2,dx,dy
usando uma das expressões obtidas nos itens anteriores. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares para integrar sobre a região no primeiro quadrante limitada pela reta x=y e pelo círculo x^2+y^2=1.

Passo 2

Vamos descrever a região e fazer a troca para coordenadas polares. Observamos que a região é
0<= y<=tfracraiz22, y<= x<=raiz1-y^2,
o que em polares equivale a
0<=theta<=tfracpi4, 0<= r<=1,
pois a reta x=y corresponde a theta=pi/4 e o círculo x^2+y^2=1 a r=1.

Passo 3

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e raizx^2+y^2=r. A função fica
2x+4yraizx^2+y^2=2rcostheta+4rsinthetar=2costheta+4sintheta
e o elemento de área é dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 4

Montamos então o integral em polares:
$$I=\int_{0}{\pi/4}\int_{0}{1}(2\cos\theta+4\sin\theta),r,dr,d\theta.
I=integral0^pi/4integral0^1(2costheta+4sintheta),r,dr,dtheta \int_{0}^{1}r,dr=\frac12,$$
ficando
r

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral(costheta+2sintheta),dtheta=sintheta-2costheta+ C
Então
$$I=\bigl[\sin\theta-2\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/4}
=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}-2\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-\bigl(0-2\cdot1\bigr)
=2-\tfrac{\sqrt2}{2}.$$

Passo 6

Encontramos portanto o valor numérico de I.

Resposta

2-tfracraiz22

Exercícios relacionados