Considere a expressão
.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão de integração dupla em coordenadas cartesianas:
O conteúdo que vamos usar aqui é a transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter
e
para
e
, e também ajustar os limites de integração e o diferencial de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
E a distância $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ simplesmente vira $ r $.
Passo 3
Agora, precisamos transformar o diferencial de área $ dy , dx $ para coordenadas polares. Sabemos que:
Então, nosso diferencial agora é $ r , dr , d\theta $.
Passo 4
Vamos olhar para os limites de integração. Originalmente, $ x $ varia de 1 a 2, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{2x - x^{2}} $.
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região de integração para entender melhor. A curva $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $ pode ser reescrita como $ x^{2} + y^{2} = 2x $, ou seja, um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $.
Então, em coordenadas polares, o raio $ r $ vai de 1 (quando $ x = 1 $) até 2 (quando $ x = 2 $). O ângulo $ \theta $ varia de 0 até $ \pi/2 $ porque $ y $ é sempre positivo e $ x $ varia de 1 a 2, estando no primeiro quadrante.
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
- $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ vira $ r $
- $ x + y $ vira $ r \cos \theta + r \sin \theta = r (\cos \theta + \sin \theta) $
- $ dy , dx $ vira $ r , dr , d\theta $
Então, a integral se transforma em:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. O $ r $ no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 7
Finalmente, escrevemos a expressão transformada completa:
Resposta
A expressão dada, transformada para coordenadas polares, fica: