Considere a expressão I=integral1^2 integral0^raiz2 x-x^2 raizx^2+y^2x+y d y d x.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão de integração dupla em coordenadas cartesianas:
I = integral1^2 integral0^raiz2 x - x^2 raizx^2+y^2x+y , dy , dx
O conteúdo que vamos usar aqui é a transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter x e y para r e theta, e também ajustar os limites de integração e o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta):
x = r cos theta y = r sin theta
E a distância $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ simplesmente vira $ r $.

Passo 3

Agora, precisamos transformar o diferencial de área $ dy , dx $ para coordenadas polares. Sabemos que:
dy , dx
Então, nosso diferencial agora é $ r , dr , d\theta $.

Passo 4

Vamos olhar para os limites de integração. Originalmente, $ x $ varia de 1 a 2, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{2x - x^{2}} $.
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região de integração para entender melhor. A curva $ y = \sqrt{2x - x^{2}} $ pode ser reescrita como $ x^{2} + y^{2} = 2x $, ou seja, um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $.
Então, em coordenadas polares, o raio $ r $ vai de 1 (quando $ x = 1 $) até 2 (quando $ x = 2 $). O ângulo $ \theta $ varia de 0 até $ \pi/2 $ porque $ y $ é sempre positivo e $ x $ varia de 1 a 2, estando no primeiro quadrante.

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
  • $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ vira $ r $
  • $ x + y $ vira $ r \cos \theta + r \sin \theta = r (\cos \theta + \sin \theta) $
  • $ dy , dx $ vira $ r , dr , d\theta $
Então, a integral se transforma em:
raizx^2 + y^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. O $ r $ no numerador e no denominador se cancelam:
r

Passo 7

Finalmente, escrevemos a expressão transformada completa:
I = integral0^pi/2 integral1^2 rcos theta + sin theta , dr , dtheta

Resposta

A expressão dada, transformada para coordenadas polares, fica:
I = integral0^pi/2 integral1^2 rcos theta + sin theta , dr , dtheta

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