O volume do sólido S pode ser escrito pela seguinte expressão em coordenadas polares
V=integral0^pi2 integral0^3 raiz9-r^2 sin ^2 theta r d r d theta
(b) Calcule o volume de S.

Passo 1

O enunciado nos dá o volume do sólido S em coordenadas polares:
V=integral0^pi2integral0^3raiz9-r^2sin^2theta;r,dr,dtheta
Isso é um problema de cálculo de volume via integração dupla em coordenadas polares. Para resolver, vamos primeiro calcular a integral interna em r usando substituição de variável, depois simplificar o resultado e integrar em θ usando identidades trigonométricas e integrais conhecidas.

Passo 2

Começamos calculando a integral interna
I(theta)=integral0^3raiz9-r^2sin^2theta;r,dr
Fazendo a substituição
u=9-r^2sin^2theta, du=-2rsin^2theta,dr implies r,dr=-12sin^2theta,du,
os limites vão de r=0 (u=9) até r=3 (u=9\cos^{2}\theta). Então
I(theta)=12sin^2thetaintegral9cos^2theta^9u^1/2,du=13sin^2thetal[u^3/2r]9cos^2theta^9=9,(1-cos^3theta)sin^2theta

Passo 3

Agora montamos a integral em θ:
V=integral0^pi2I(theta),dtheta=9integral0^pi21-cos^3thetasin^2theta,dtheta
Para simplificar o integrando usamos
1-cos^3theta=(1-costheta)(1+costheta+cos^2theta)
e as fórmulas de meio ângulo
1-costheta=2sin^2(tfractheta2),sin^2theta=4sin^2(tfractheta2)cos^2(tfractheta2)
Após cancelar e simplificar, obtemos
1-cos^3thetasin^2theta=costheta+tfrac12sec^2(tfractheta2)

Passo 4

Integramos termo a termo sobre [0,π/2]:
integral0^pi2costheta,dtheta=1,integral0^pi2sec^2(tfractheta2),dtheta=2l[tan(tfractheta2)r]0^pi2=2
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V=9l(1+tfrac12cdot2r)=18

Resposta

18

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