O volume do sólido
pode ser escrito pela seguinte expressão em coordenadas polares
(b) Calcule o volume de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o volume do sólido S em coordenadas polares:
Isso é um problema de cálculo de volume via integração dupla em coordenadas polares. Para resolver, vamos primeiro calcular a integral interna em r usando substituição de variável, depois simplificar o resultado e integrar em θ usando identidades trigonométricas e integrais conhecidas.
Passo 2
Começamos calculando a integral interna
Fazendo a substituição
os limites vão de r=0 (u=9) até r=3 (u=9\cos^{2}\theta). Então
Passo 3
Agora montamos a integral em θ:
Para simplificar o integrando usamos
e as fórmulas de meio ângulo
Após cancelar e simplificar, obtemos
Passo 4
Integramos termo a termo sobre [0,π/2]:
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Resposta
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