Considere a seguinte expressão:
I=integral0^1 integral0^1-raiz1-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y+integral1^2 integral0^raiz2 y-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y
© Calcule o valor numérico de I, utilizando uma das expressões anteriores.

Passo 1

A integral dada é
I = integral0^1integral0^1-raiz1-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2,dx,dy + integral1^2integral0^raiz2y - y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2,dx,dy
O conteúdo é a mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são círculos que ficam simples em termos de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
O integrando se torna
raizx^2+y^2x^2+y^2 = rr^2 = 1r,
então
raizx^2+y^2x^2+y^2,dx,dy = dr,dtheta

Passo 3

As fronteiras são os círculos
x^2+y^2=2x Rightarrow r=2costheta,
x^2+y^2=2y Rightarrow r=2sintheta,
e estamos no primeiro quadrante 0<=theta<=pi/2. O primeiro pedaço ( 0<= y<=1) equivale a
r de 0 até 2costheta para 0<=theta<=pi/2.
O segundo ( 1<= y<=2) só existe se 2sintheta>1/sintheta, ou seja theta>=pi/4, e então
r vai de 1/sintheta até 2sintheta.

Passo 4

Montando a integral em polares e integrando primeiro em r
I = integral0^pi/2integral0^2costhetadr,dtheta + integralpi/4^pi/2integral1/sintheta^2sinthetadr,dtheta = integral0^pi/22costheta,dtheta + integralpi/4^pi/2l(2sintheta - tfrac1sinthetar),dtheta

Passo 5

Agora calculamos cada parte:
integral0^pi/22costheta,dtheta = 2,
integralpi/4^pi/22sintheta,dtheta = raiz2,
integralpi/4^pi/21sintheta,dtheta = l[-ln(csctheta+cottheta)r]pi/4^pi/2 = ln(1+raiz2)
Somando tudo obtemos

Resposta

2 + raiz2 - ln(1 + raiz2)

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