Escreva, em coordenadas cartesianas, a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x^2+y^2=9 e y^2+1=3 x, tomando:
(b) y como variável independente.

Passo 1

A gente quer encontrar a área da menor região limitada pelas curvas x^2+y^2=9 (círculo de raio 3) e y^2+1=3x (parábola voltada para a direita), usando como variável independente o eixo y. Para isso, vamos montar uma integral dupla em coordenadas cartesianas do tipo A=integralymin^ymaxintegralxesq(y)^xdir(y)!1,dx,dy.

Passo 2

Para achar os limites em y, igualamos as duas expressões de x: da parábola x=(y^2+1)/3 e do círculo x^2=9-y^2. Substituindo x=(y^2+1)/3 no círculo, temos
l(y^2+13r)^2+y^2=9
que leva a y^4+11y^2-80=0. Descartando raízes negativas para y^2, ficamos com y^2=5 e, portanto, y=pmraiz5.

Passo 3

Agora, para um y qualquer em [-raiz5,raiz5], isolamos x em cada curva:
  • Parábola: xparab(y)=y^2+13
  • Círculo (ramo direito): xcirc(y)=+raiz9-y^2
    Em toda essa faixa, xparab(y) fica à esquerda de xcirc(y), então esses são nossos limites de x.

Passo 4

Finalmente, a área da região é dada pela integral dupla com integrando 1 e limites encontrados. Em coordenadas cartesianas, tomando y como variável externa, escrevemos:
O integrando é 1, pois estamos calculando área, e os limites são:
-raiz5<= y<=raiz5, tfracy^2+13<= x<=raiz9-y^2

Resposta

A=integral-raiz5^raiz5integraly^2+13^raiz9-y^21,dx,dy

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