Escreva, em coordenadas cartesianas, a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas
e
, tomando:
(b)
como variável independente.
(b)
Passo 1
A gente quer encontrar a área da menor região limitada pelas curvas
(círculo de raio 3) e
(parábola voltada para a direita), usando como variável independente o eixo
. Para isso, vamos montar uma integral dupla em coordenadas cartesianas do tipo
.
Passo 2
Para achar os limites em
, igualamos as duas expressões de
: da parábola
e do círculo
. Substituindo
no círculo, temos
que leva a
. Descartando raízes negativas para
, ficamos com
e, portanto,
.
Passo 3
Agora, para um
qualquer em
, isolamos
em cada curva:
- Parábola:
- Círculo (ramo direito):
Em toda essa faixa,fica à esquerda de , então esses são nossos limites de .
Passo 4
Finalmente, a área da região é dada pela integral dupla com integrando 1 e limites encontrados. Em coordenadas cartesianas, tomando
como variável externa, escrevemos:
O integrando é , pois estamos calculando área, e os limites são:
O integrando é