Considere a expressão E(x)=3-2 x|1-2 x|-|x|. Faça o que se pede:
Encontre os valores de x tais que E(x)>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a expressão e pede para encontrarmos os valores de que fazem . Esse problema envolve funções absolutas e desigualdades, então vamos precisar entender como lidar com os valores absolutos e analisar os intervalos onde a expressão é positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando e quando .
  • implica
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

Intervalo 1: E(x) = 3 - 2x(1 - 2x) - (-x) = 3 - 2x1 - 2x + x = 3 - 2x1 - x
Aqui, 3 - 2x1 - x > 0 (porque é negativo) e .
Então, e .
Substituindo na expressão:
Queremos que :
Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
No intervalo , ambas as condições são verdadeiras, então para todo .

Passo 4

Intervalo 2: E(x) = 3 - 2x(1 - 2x) - x = 3 - 2x1 - 3x
Aqui, 3 - 2x1 - 3x > 0 e .
Então, e .
Substituindo na expressão:
Queremos que :
Analisando os sinais:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para que a fração seja positiva, tanto numerador quanto denominador devem ser positivos. No intervalo , isso ocorre quando .
Portanto, para .

Passo 5

Intervalo 3: E(x) = 3 - 2x(2x - 1) - x = 3 - 2xx - 1
Aqui, 3 - 2xx - 1 > 0 e .
Então, e .
Substituindo na expressão:
Queremos que :
Analisando os sinais:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para que a fração seja positiva, ambas as partes devem ser positivas ou negativas. No intervalo , isso ocorre quando .
Portanto, para .

Resposta

Os valores de x < 0 ou 0 <= x < 13 ou 1 < x < 32 que satisfazem são:

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