Considere a expressão
. Faça o que se pede:
Encontre os valores de
tais que
.
Encontre os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a expressão
e pede para encontrarmos os valores de
que fazem
. Esse problema envolve funções absolutas e desigualdades, então vamos precisar entender como lidar com os valores absolutos e analisar os intervalos onde a expressão é positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando
e quando
.
-
implica -
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 3
Intervalo 1:
Aqui,
(porque
é negativo) e
.
Então,
e
.
Substituindo na expressão:
Queremos que
:
Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador:
- Numerador:
- Denominador:
No intervalo
, ambas as condições são verdadeiras, então
para todo
.
Passo 4
Intervalo 2:
Aqui,
e
.
Então,
e
.
Substituindo na expressão:
Queremos que
:
Analisando os sinais:
- Numerador:
- Denominador:
Para que a fração seja positiva, tanto numerador quanto denominador devem ser positivos. No intervalo
, isso ocorre quando
.
Portanto,
para
.
Passo 5
Intervalo 3:
Aqui,
e
.
Então,
e
.
Substituindo na expressão:
Queremos que
:
Analisando os sinais:
- Numerador:
- Denominador:
Para que a fração seja positiva, ambas as partes devem ser positivas ou negativas. No intervalo
, isso ocorre quando
.
Portanto,
para
.
Resposta
Os valores de
que satisfazem
são: