Dada a EDO
(y cos (x y)+e^x) d x+(x cos (x y)+2 y) d y=0 (2)
Verifique se a EDO (2) é exata.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
(ycos(xy)+e^x),dx + (xcos(xy)+2y),dy = 0
é exata. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, e para testar exatidão precisamos calcular partial M/partial y e partial N/partial x e verificar se são iguais.

Passo 2

Identificamos as funções:
M(x,y) = ycos(xy)+e^x,
N(x,y) = xcos(xy)+2y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
Usando regra do produto e cadeia,
partial Mpartial y = partialpartial y[ycos(xy)] + partialpartial y[e^x] = cos(xy) + yl(-sin(xy)cdot xr) + 0 = cos(xy) - x ysin(xy)

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
Novamente usando regra do produto e cadeia,
partial Npartial x = partialpartial x[xcos(xy)] + partialpartial x[2y] = cos(xy) + xl(-sin(xy)cdot yr) + 0 = cos(xy) - x ysin(xy)

Passo 5

Como partial M/partial y = partial N/partial x = cos(xy) - x ysin(xy), concluímos que a equação diferencial é exata.

Resposta

A EDO (2) é exata, pois partial M/partial y = partial N/partial x = cos(xy) - xysin(xy).

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