Considere o número real
alpha=raiz[3]2+raiz5+raiz[3]2-raiz5
[1,5] Mostre que alpha é um número inteiro

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos o número real
alpha = raiz[3]2+raiz5 + raiz[3]2-raiz5
O objetivo é mostrar que alpha é um número inteiro. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra, especificamente a manipulação de radicais e equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir alpha como:
alpha = raiz[3]2+raiz5 + raiz[3]2-raiz5
Queremos encontrar o valor de alpha e mostrar que ele é inteiro.

Passo 3

Vamos elevar ambos os lados da equação ao cubo para eliminar as raízes cúbicas:
alpha^3 = ( raiz[3]2+raiz5 + raiz[3]2-raiz5 )^3
Utilizando a fórmula do cubo da soma (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b), temos:
alpha^3 = ( raiz[3]2+raiz5 )^3 + ( raiz[3]2-raiz5 )^3 + 3 cdot raiz[3]2+raiz5 cdot raiz[3]2-raiz5 cdot alpha

Passo 4

Calculando os cubos individuais:
( raiz[3]2+raiz5 )^3 = 2 + raiz5
( raiz[3]2-raiz5 )^3 = 2 - raiz5
Somando esses valores:
2 + raiz5 + 2 - raiz5 = 4

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto das raízes cúbicas:
raiz[3]2+raiz5 cdot raiz[3]2-raiz5 = raiz[3](2+raiz5)(2-raiz5) = raiz[3]4 - 5 = raiz[3]-1 = -1

Passo 6

Substituindo de volta na equação do passo 3:
alpha^3 = 4 + 3 cdot (-1) cdot alpha
Simplificando:
alpha^3 = 4 - 3alpha
Rearranjando os termos:
alpha^3 + 3alpha - 4 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação polinomial:
alpha^3 + 3alpha - 4 = 0
Vamos tentar encontrar uma raiz inteira para essa equação. Testando alpha = 1:
1^3 + 3 cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Portanto, alpha = 1 é uma raiz da equação.

Resposta

alpha = 1, que é um número inteiro.

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