Considere o número real
Mostre que
é um número inteiro
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos o número real
O objetivo é mostrar que
é um número inteiro. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra, especificamente a manipulação de radicais e equações polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como:
Queremos encontrar o valor de
e mostrar que ele é inteiro.
Passo 3
Vamos elevar ambos os lados da equação ao cubo para eliminar as raízes cúbicas:
Utilizando a fórmula do cubo da soma
, temos:
Passo 4
Calculando os cubos individuais:
Somando esses valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto das raízes cúbicas:
Passo 6
Substituindo de volta na equação do passo 3:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, temos uma equação polinomial:
Vamos tentar encontrar uma raiz inteira para essa equação. Testando
:
Portanto,
é uma raiz da equação.