Considere a expressão E(x)=3-2 x|1-2 x|-|x|. Faça o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x)=0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x)>0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x)<0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).

Passo 1

O exercício pede para estudar o sinal da expressão E(x)=3-2x|1-2x|-|x|, ou seja, encontrar quando E(x)=0, E(x)>0 e E(x)<0. Esse tipo de problema envolve análise de sinal de expressão com valores absolutos, então vamos: 1) achar zeros do numerador e do denominador, 2) identificar pontos em que os módulos mudam de forma (aqui em x=0 e x=1/2), 3) particionar o domínio e 4) montar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro achamos o zero do numerador resolvendo 3-2x=0. Isso dá x=tfrac32. Verificamos o denominador em x=tfrac32: |1-2cdottfrac32|-|tfrac32|=|1-3|-1.5=2-1.5=0.5neq0, então x=tfrac32 pertence ao domínio e é a única solução de E(x)=0.

Passo 3

Em seguida, achamos onde o denominador se anula resolvendo |1-2x|-|x|=0. Fazendo os casos 1-2x=pm x e |x|=pm x, obtém-se as soluções x=tfrac13 e x=1. Nesses pontos o denominador é zero, então x=tfrac13 e x=1 devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Para montar o estudo de sinal, notamos que os módulos mudam de expressão em x=0 (para |x|) e x=1/2 (para |1-2x|), além dos pontos críticos x=tfrac13 e x=1. Isso nos dá os intervalos:
  • x<0
  • 0
  • tfrac13
  • 1
  • x>tfrac32

Passo 5

Agora, em cada intervalo, calculamos |1-2x|, |x|, o sinal do numerador 3-2x e do denominador |1-2x|-|x|, e daí o sinal de E(x):
  • Para x<0: |1-2x|=1-2x, |x|=-x, denominador =1-x>0, numerador =3-2x>0 E(x)>0.
  • Para 0: |1-2x|=1-2x, |x|=x, denominador =1-3x>0, numerador >0 E(x)>0.
  • Para tfrac13: mesma forma dos módulos, mas 1-3x<0 e numerador >0 E(x)<0.
  • Para 1: |1-2x|=2x-1, |x|=x, denominador =x-1>0, numerador >0 E(x)>0.
  • Para x>tfrac32: denominador >0, mas numerador 3-2x<0 E(x)<0.

Resposta

a) x=tfrac32. b) xin(-infty,tfrac13)cup(1,tfrac32). c) xin(tfrac13,1)cup(tfrac32,infty).

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