Sejam a, b, c in R. Mostre que y(t)=e^r t, com r raiz de a r^2+b r+c=0 é solução da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
a,y''(t) + b,y'(t) + c,y(t) = 0,
e precisa mostrar que, se r é raiz da equação característica
a,r^2 + b,r + c = 0,
então a função proposta
y(t) = e^r t
é de fato uma solução. Vamos usar propriedades de derivada de exponencial e a condição de raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de y(t). Lembra que a derivada de e^rt em relação a t puxa um fator r. Assim, temos
y'(t) = r,e^r t,
e de novo:
y''(t) = r^2,e^r t

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
a,y'' + b,y' + c,y = al(r^2 e^r tr) + bl(r e^r tr) + cl(e^r tr)
Como todos os termos têm e^rt em comum, podemos fatorar:
e^r tl(a r^2 + b r + cr)

Passo 4

Pelo enunciado, escolhemos r de modo que
a r^2 + b r + c = 0
Logo, o fator entre parênteses se anula, e a expressão inteira vira zero. Isso mostra que
a,y'' + b,y' + c,y = 0,
provando que y(t)=e^r t satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Como chegamos a 0 = 0 ao substituir y(t)=e^rt na diferencial, concluímos que de fato essa função é solução do problema.

Resposta

A função y(t)=e^{rt}, com r raiz de a r^{2}+b r+c=0, satisfaz a y’’+b y’+c y=0, pois a substituição leva a e{rt}(ar{2}+br+c)=0.

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