Sejam
. Mostre que
raiz de
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
e precisa mostrar que, se r é raiz da equação característica
então a função proposta
é de fato uma solução. Vamos usar propriedades de derivada de exponencial e a condição de raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de y(t). Lembra que a derivada de
em relação a
puxa um fator
. Assim, temos
e de novo:
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação diferencial:
Como todos os termos têm
em comum, podemos fatorar:
Passo 4
Pelo enunciado, escolhemos
de modo que
Logo, o fator entre parênteses se anula, e a expressão inteira vira zero. Isso mostra que
provando que
satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Como chegamos a
ao substituir
na diferencial, concluímos que de fato essa função é solução do problema.
Resposta
A função y(t)=e^{rt}, com r raiz de a r^{2}+b r+c=0, satisfaz a y’’+b y’+c y=0, pois a substituição leva a e{rt}(ar{2}+br+c)=0.