Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial a seguir.
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Observação: Se necessário use:
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Observação: Se necessário use:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira. Lembrando que:
Substituindo as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
Passo 3
Agora, substituímos essas transformadas na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 4
Isolamos $ Y(s) $:
Vamos fatorar o denominador $ s^2 - s = s(s - 1) $:
Passo 5
Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de $ Y(s) $. Observando a expressão:
Podemos usar a propriedade da convolução na Transformada de Laplace:
A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de Laplace, então:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Fazendo a substituição $ u = t - \tau $, temos $ du = -d\tau $, e os limites continuam de 0 a t:
A integral $ \int e^{-u} \sin(u) du $ é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites de 0 a t:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ y(t) $:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é: