Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial a seguir.
y^prime prime-y^prime=e^t cos (t), y(0)=0, y^prime(0)=0.
Observação: Se necessário use: Lt sin (k t)=2 k s(s^2+k^2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace! O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' = e^t cos(t)
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Le^t cos(t) = s-1(s-1)^2 + 1^2 = s-1(s-1)^2 + 1
Substituindo as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 0
y'(0) = 0

Passo 3

Agora, substituímos essas transformadas na equação original:
s^2 Y(s) - s Y(s) = s-1(s-1)^2 + 1
Isso simplifica para:
(s^2 - s) Y(s) = s-1(s-1)^2 + 1

Passo 4

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Vamos fatorar o denominador $ s^2 - s = s(s - 1) $:
Y(s) = s-1(s^2 - s)[(s-1)^2 + 1]

Passo 5

Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de $ Y(s) $. Observando a expressão:
y(t)
Podemos usar a propriedade da convolução na Transformada de Laplace:
Y(s)
Y(s) = 1s[(s-1)^2 + 1]
A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de Laplace, então:
L^-11s = 1

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
y(t) = integral0^t e^tau sin(t - tau) , dtau
Fazendo a substituição $ u = t - \tau $, temos $ du = -d\tau $, e os limites continuam de 0 a t:
u = t - tau
A integral $ \int e^{-u} \sin(u) du $ é uma integral padrão que resulta em:
du = -dtau
Aplicando os limites de 0 a t:
y(t) = integral0^t e^t - u sin(u) , du = e^t integral0^t e^-u sin(u) , du

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ y(t) $:
y(t)
Simplificando:
y(t) = e^t [ -12 e^-t (sin(t) + cos(t)) + 12 ] = -12 (sin(t) + cos(t)) + 12 e^t

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 12 ( e^t - sin(t) - cos(t) )

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