Considere as expressões abaixo em que a neq b
l P=a^3-b^3a^2 raiza-raizb a^2+b a raiza-b raizb a+b^2 raiza-b^2 raizb Q=a^4-b^4a^3+a^2 b+a b^2+b^3
Assim, tem-se Q/P igual a
D raiza-raizb

Passo 1

O enunciado nos dá as expressões
P=a^3-b^3a^2raiza-a^2raizb+abraiza-abraizb+b^2raiza-b^2raizb
e
Q=a^4-b^4a^3+a^2b+ab^2+b^3
com aneq b. O que a gente quer é Q/P. Para isso vamos usar fatoração de soma e diferença de potências e extração de fator comum.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador de P. Note que
a^2raiza-a^2raizb+abraiza-abraizb+b^2raiza-b^2raizb
pode ser agrupado como
(a^2+ab+b^2)(raiza-raizb)
já que cada termo compartilha raiza-raizb e soma de potências de grau 2.

Passo 3

Agora fatoramos Q. No numerador
a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)
e no denominador
a^3+a^2b+ab^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2)

Passo 4

Com essas fatorações temos
Q=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a+b)(a^2+b^2)=a^2-b^2a+b=a-b

Passo 5

Por fim, calculamos
QP=a-bdfraca^3-b^3(a^2+ab+b^2)(raiza-raizb)=(a-b)cdot(a^2+ab+b^2)(raiza-raizb)(a-b)(a^2+ab+b^2)=raiza-raizb

Resposta

raiza-raizb

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