Considere as expressões abaixo em que a neq b
l P=a^3-b^3a^2 raiza-raizb a^2+b a raiza-b raizb a+b^2 raiza-b^2 raizb Q=a^4-b^4a^3+a^2 b+a b^2+b^3
Assim, tem-se Q/P igual a
B 1raiza+raizb

Passo 1

O exercício pede para calcular a razão Q/P, onde
P=a^3-b^3a^2raiza-raizb,a^2+b,araiza-braizb,a+b^2raiza-b^2raizb
e
Q=a^4-b^4a^3+a^2b+ab^2+b^3
O conteúdo envolvido é fatoração de diferenças de potências e manipulação algébrica para simplificar frações.

Passo 2

Para simplificar P, observamos que o denominador tem fator comum (raiza-raizb):
a^2(raiza-raizb)+ab(raiza-raizb)+b^2(raiza-raizb)=(raiza-raizb)(a^2+ab+b^2)
Como o numerador é a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), temos
P=(a-b)(a^2+ab+b^2)(raiza-raizb)(a^2+ab+b^2)=a-braiza-raizb
Racionalizando a-b=(raiza-raizb)(raiza+raizb), obtemos P=raiza+raizb.

Passo 3

Para simplificar Q, escrevemos:
a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2),
e
a^3+a^2b+ab^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2)
Assim
Q=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+b)(a^2+b^2)=a-b

Passo 4

Agora basta calcular
QP=a-braiza+raizb
Reconhecendo que a-b=(raiza-raizb)(raiza+raizb), vem
a-braiza+raizb=raiza-raizb

Resposta

raiza-raizb

Exercícios relacionados