Considere as expressões abaixo em que a neq b
l P=a^3-b^3a^2 raiza-raizb a^2+b a raiza-b raizb a+b^2 raiza-b^2 raizb Q=a^4-b^4a^3+a^2 b+a b^2+b^3
Assim, tem-se Q/P igual a
C raiza+raizb

Passo 1

O enunciado nos dá duas expressões em que aneq b:
P é a razão de um cubo menos outro cubo sobre uma combinação com raízes, e Q é a razão de um quarto grau menos outro quarto grau sobre uma soma de termos de grau 3. Vamos precisar usar fatoração de diferenças de potências e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Começamos por simplificar P. O numerador é diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
No denominador, note que todas as parcelas têm o fator raiza-raizb:
a^2raiz a-raiz b,a^2+baraiz a-braiz b,a+b^2raiz a-b^2raiz b=(a^2+ab+b^2)(raiz a-raiz b)
Assim,
P=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2+ab+b^2)(raiz a-raiz b)=a-braiz a-raiz b
E usando a-b=(raiz a-raiz b)(raiz a+raiz b), obtemos
P=raiz a+raiz b

Passo 3

Agora simplificamos Q. O numerador é diferença de quartas potências:
a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)
No denominador, somamos cubos mais termos mistas:
a^3+a^2b+ab^2+b^3=(a^3+b^3)+ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2)
Logo
Q=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+b)(a^2+b^2)=a-b

Passo 4

Para encontrar Q/P, dividimos os resultados:
QP=a-braiz a+raiz b
E novamente usamos a-b=(raiz a-raiz b)(raiz a+raiz b) para cancelar o denominador, resultando em
QP=raiz a-raiz b

Resposta

raiz a-raiz b

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