integral 5(e^2 x+1+3)^4 e^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 5(e^2 x+1+3)^4 e^2 x , dx. Neste exercício, vamos trabalhar com integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração ao simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observamos que temos (e^2x + 1 + 3)^4 e também e^2x multiplicando essa expressão. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u para facilitar a substituição. Seja:
u = e^2x + 1 + 3

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = ddx(e^2x + 1 + 3) = 2e^2x + 1
Assim, podemos escrever:
du = 2e^2x + 1 , dx

Passo 5

Observamos que na integral original temos e^2x e no du temos e^2x + 1. Podemos reescrever e^2x + 1 como e cdot e^2x. Portanto:
du = 2e cdot e^2x , dx Rightarrow e^2x , dx = du2e

Passo 6

Vamos substituir u e e^2x , dx na integral original:
integral 5(e^2x + 1 + 3)^4 e^2x , dx = integral 5u^4 cdot du2e = 52e integral u^4 , du

Passo 7

Agora, basta integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo de volta a expressão de u:
52e cdot u^55 + C = u^52e + C = (e^2x + 1 + 3)^52e + C

Resposta

A integral integral 5(e^2 x+1+3)^4 e^2 x , dx é igual a (e^2x + 1 + 3)^52e + C, onde C é a constante de integração.

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