Considere uma extensa parede plana de espessura L= 0,4 m, condutividade térmica k=2,3 W / m cdot ^circ C e área da superfície A=30 m^2. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante T1=90^circ C, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a T=25^circ C com coeficiente de transferência de calor h=24 W / m^2 cdot ^circ C. Assumindo condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condiçőes de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, (b) obtenha a expressão para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial, e © avalie a taxa de transferência de calor através da parede.
Resposta: © 9.045 W

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma parede plana com certa espessura, condutividade térmica e área da superfície. De um lado, ela tá mantida a uma temperatura constante, e do outro lado, perde calor por convecção para o ar ambiente. O conteúdo envolvido aqui é condução de calor em regime permanente, usando a equação diferencial da condução de calor unidimensional. Pra resolver, vamos precisar entender como montar essa equação e aplicar as condições de contorno pra encontrar a taxa de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial para a condução de calor unidimensional em regime permanente. A equação geral para condução de calor sem geração de calor é dada por:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso porque, em regime permanente, a segunda derivada da temperatura em relação à posição $ x $ é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. A primeira condição é que no lado esquerdo da parede ($ x = 0 $), a temperatura é constante e igual a $ T_1 = 90^\circ C $:
x = 0
A segunda condição está no lado direito da parede ($ x = L = 0,4 , m $), onde ocorre convecção com o ar ambiente a $ T_{\infty} = 25^\circ C $ e coeficiente de transferência de calor $ h = 24 , W/m^2 \cdot^\circ C $. A condição de contorno aqui é que o fluxo de calor na parede é igual ao fluxo de convecção:
T1 = 90^circ C

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial $ \frac{d^2 T}{dx^2} = 0 $. Integrando uma vez em relação a $ x $:
d^2 Tdx^2 = 0
Integrando novamente:
x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicando a primeira condição de contorno $ T(0) = 90^\circ C $:
T(0) = 90^circ C
Agora, a equação da temperatura fica:
90 = C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 90^circ C

Passo 6

Aplicando a segunda condição de contorno no ponto $ x = L = 0,4 , m $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ T(x) $:
x = L = 0,4 , m
Substituindo na condição de contorno:
T(x)
Substituindo $ T(L) = C_1 L + 90 $:
dTdx = C1
Simplificando:
- k C1 = h [T(L) - Tinfty]

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ C_1 $:
C1
Reagrupando os termos com $ C_1 $:
- k C1 = h C1 L + 65 h
Fatorando $ C_1 $:
C1
Isolando $ C_1 $:
- k C1 - h C1 L = 65 h
Substituindo os valores fornecidos:
$ h = 24 , W/m^2 \cdot^\circ C $
$ k = 2,3 , W/m \cdot^\circ C $
$ L = 0,4 , m $
C1

Passo 8

Agora que temos $ C_1 $, podemos escrever a expressão para a temperatura na parede:
C1
Isso significa que a temperatura diminui linearmente de $ 90^\circ C $ no lado esquerdo para uma temperatura menor no lado direito.

Passo 9

Para encontrar a taxa de transferência de calor ($ \dot{Q} $), usamos a lei de Fourier:
dotQ
Já sabemos que $ \frac{dT}{dx} = C_1 = -131,1 , ^\circ C/m $. Substituindo:
dotQ = -k A dTdx
Calculando:
dTdx = C1 = -131,1 , ^circ C/m

Resposta

© 9.045 W

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