Considere uma extensa parede plana de espessura
, condutividade térmica
e área da superfície
. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante
, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a
com coeficiente de transferência de calor
. Assumindo condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condiçőes de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, (b) obtenha a expressão para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial, e © avalie a taxa de transferência de calor através da parede.
Resposta: © 9.045 W
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma parede plana com certa espessura, condutividade térmica e área da superfície. De um lado, ela tá mantida a uma temperatura constante, e do outro lado, perde calor por convecção para o ar ambiente. O conteúdo envolvido aqui é condução de calor em regime permanente, usando a equação diferencial da condução de calor unidimensional. Pra resolver, vamos precisar entender como montar essa equação e aplicar as condições de contorno pra encontrar a taxa de transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial para a condução de calor unidimensional em regime permanente. A equação geral para condução de calor sem geração de calor é dada por:
Isso porque, em regime permanente, a segunda derivada da temperatura em relação à posição $ x $ é igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições de contorno. A primeira condição é que no lado esquerdo da parede ($ x = 0 $), a temperatura é constante e igual a $ T_1 = 90^\circ C $:
A segunda condição está no lado direito da parede ($ x = L = 0,4 , m $), onde ocorre convecção com o ar ambiente a $ T_{\infty} = 25^\circ C $ e coeficiente de transferência de calor $ h = 24 , W/m^2 \cdot^\circ C $. A condição de contorno aqui é que o fluxo de calor na parede é igual ao fluxo de convecção:
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial $ \frac{d^2 T}{dx^2} = 0 $. Integrando uma vez em relação a $ x $:
Integrando novamente:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicando a primeira condição de contorno $ T(0) = 90^\circ C $:
Agora, a equação da temperatura fica:
Passo 6
Aplicando a segunda condição de contorno no ponto $ x = L = 0,4 , m $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ T(x) $:
Substituindo na condição de contorno:
Substituindo $ T(L) = C_1 L + 90 $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ C_1 $:
Reagrupando os termos com $ C_1 $:
Fatorando $ C_1 $:
Isolando $ C_1 $:
Substituindo os valores fornecidos:
$ h = 24 , W/m^2 \cdot^\circ C $
$ k = 2,3 , W/m \cdot^\circ C $
$ L = 0,4 , m $
Passo 8
Agora que temos $ C_1 $, podemos escrever a expressão para a temperatura na parede:
Isso significa que a temperatura diminui linearmente de $ 90^\circ C $ no lado esquerdo para uma temperatura menor no lado direito.
Passo 9
Para encontrar a taxa de transferência de calor ($ \dot{Q} $), usamos a lei de Fourier:
Já sabemos que $ \frac{dT}{dx} = C_1 = -131,1 , ^\circ C/m $. Substituindo:
Calculando:
Resposta
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