Considere que a placa da base de um ferro de passar doméstico de 800 W possui espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=20 W / m cdot ^circ C. A superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando se alcançam condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 85^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro, (a) expresse a equação diferencial e as condiçöes de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura na placa da base do ferro resolvendo a equação diferencial, e © avalie a temperatura da superfície interna.
Resposta: © 100^circ C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a condução de calor através da base de um ferro de passar que tem algumas características específicas. A gente vai precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a condução unidimensional em regime permanente. Vamos precisar das fórmulas da lei de Fourier para condução térmica e entender como aplicar as condições de contorno nesse cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação diferencial para a condução de calor em regime permanente. A lei de Fourier nos diz que o fluxo de calor $ q $ através de um material é dado por:
q
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ \frac{dT}{dx} $ é o gradiente de temperatura.
Como estamos falando de um regime permanente e condução unidimensional, a equação diferencial simplifica para:
q = -k dTdx
Isso porque, em regime permanente, a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Integrando uma vez em relação a $ x $:
x
Integrando novamente:
dTdx = C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que:
  • Na superfície externa ($ x = L $), a temperatura é $ 85^{\circ}C $.
  • A quantidade de calor gerada na resistência deve ser equilibrada pela condução de calor através da placa.
Usando a primeira condição de contorno:
x = L
E considerando que na superfície interna ($ x = 0 $), a temperatura é $ T_{in} $ que queremos encontrar, temos:
85^circC
Então, substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
T(L) = C1 L + C2 = 85
Para encontrar $ C_1 $, precisamos relacionar com a potência do ferro. A potência $ P $ é relacionada ao fluxo de calor pela área $ A $:
x = 0
Rearranjando para $ \frac{dT}{dx} $:
Tin
Substituindo $ L $ e os valores dados:
T(0) = C2 = Tin
Agora, voltando para a equação $ C_1 L + T_{in} = 85 $:
C2
(Note que convertemos $ L $ de cm para m: $ 0,6 , cm = 0,006 , m $)
C1 L + Tin = 85
C1
Mas isso não faz sentido com a resposta esperada. Isso indica que precisamos reconsiderar a aplicação das condições de contorno relacionadas à potência.

Passo 5

Vamos ajustar isso. A potência total $ P $ está distribuída uniformemente na base, então a temperatura interna pode ser encontrada considerando que a diferença de temperatura total é resultante da condução do calor.
A diferença de temperatura $ \Delta T $ é:
P
Substituindo os valores:
De
Então, a temperatura interna é:
De

Resposta

100^circ C

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