Considere que a placa da base de um ferro de passar doméstico de 800 W possui espessura
, área da base
e condutividade térmica
. A superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando se alcançam condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede
. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro, (a) expresse a equação diferencial e as condiçöes de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura na placa da base do ferro resolvendo a equação diferencial, e © avalie a temperatura da superfície interna.
Resposta: ©
Resposta: ©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a condução de calor através da base de um ferro de passar que tem algumas características específicas. A gente vai precisar usar conceitos de transferência de calor, especialmente a condução unidimensional em regime permanente. Vamos precisar das fórmulas da lei de Fourier para condução térmica e entender como aplicar as condições de contorno nesse cenário.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação diferencial para a condução de calor em regime permanente. A lei de Fourier nos diz que o fluxo de calor $ q $ através de um material é dado por:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica,
- $ \frac{dT}{dx} $ é o gradiente de temperatura.
Como estamos falando de um regime permanente e condução unidimensional, a equação diferencial simplifica para:
Isso porque, em regime permanente, a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Integrando uma vez em relação a $ x $:
Integrando novamente:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que:
- Na superfície externa ($ x = L $), a temperatura é $ 85^{\circ}C $.
- A quantidade de calor gerada na resistência deve ser equilibrada pela condução de calor através da placa.
Usando a primeira condição de contorno:
E considerando que na superfície interna ($ x = 0 $), a temperatura é $ T_{in} $ que queremos encontrar, temos:
Então, substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
Para encontrar $ C_1 $, precisamos relacionar com a potência do ferro. A potência $ P $ é relacionada ao fluxo de calor pela área $ A $:
Rearranjando para $ \frac{dT}{dx} $:
Substituindo $ L $ e os valores dados:
Agora, voltando para a equação $ C_1 L + T_{in} = 85 $:
(Note que convertemos $ L $ de cm para m: $ 0,6 , cm = 0,006 , m $)
Mas isso não faz sentido com a resposta esperada. Isso indica que precisamos reconsiderar a aplicação das condições de contorno relacionadas à potência.
Passo 5
Vamos ajustar isso. A potência total $ P $ está distribuída uniformemente na base, então a temperatura interna pode ser encontrada considerando que a diferença de temperatura total é resultante da condução do calor.
A diferença de temperatura $ \Delta T $ é:
Substituindo os valores:
Então, a temperatura interna é: