Considere uma panela de aço usada para ferver água em um fogão elétrico. A seção inferior da panela possui espessura L=0,5 cm e um diâmetro D=20 cm. Uma boca do fogão consome 1250 W de potência durante seu uso, e 85 % do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. A transferência de calor da superfícic superior do fundo da panela para a água ocorre por convecção, com coeficiente de transferência de calor h. Assumindo que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, expresse a formulação matemática (a equação diferencial e as condições de contorno) deste problema de condução de calor durante operação permanente. Não resolva o problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre condução de calor, que faz parte da termodinâmica. A situação envolve uma panela de aço no fogão elétrico, e a gente precisa formular matematicamente como o calor se comporta nesse sistema durante o uso constante do fogão. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transferência de calor por condução e convecção, além de aplicar algumas fórmulas básicas dessa matéria.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características da panela e do fogão que são relevantes para o problema:
  • Espessura da panela ( L): 0,5 cm (que vamos converter para metros para facilitar os cálculos, ficando L = 0,005 , m).
  • Diâmetro da panela ( D): 20 cm (ou D = 0,20 , m).
  • Potência do fogão: 1250 W, mas apenas 85% desse calor é transferido para a panela. Então, a potência efetiva transferida é P = 0,85 times 1250 , W = 1062,5 , W.

Passo 3

Agora, precisamos entender como o calor está sendo transferido. No caso, temos dois modos de transferência:
  1. Condução de calor através da espessura da panela.
  2. Convecção de calor da superfície superior do fundo da panela para a água.
Vamos focar na condução de calor primeiro. A condução ocorre de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, e é descrita pela Lei de Fourier.

Passo 4

A Lei de Fourier para condução unidimensional de calor é dada por:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso porque, em operação permanente (estado estacionário), a temperatura não muda com o tempo, e a segunda derivada da temperatura em relação à posição é igual a zero.

Passo 5

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção na superfície superior da panela. A Lei de Newton do Resfriamento nos diz que o calor transferido por convecção é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície e o ambiente (neste caso, a água):
q = h (Ts - Tágua) á
Onde:
  • q é a taxa de transferência de calor por unidade de área.
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • Ts é a temperatura na superfície da panela.
  • Táguaá é a temperatura da água.

Passo 6

Para formular a equação diferencial completa, precisamos aplicar o Princípio de Conservação de Energia. A potência total transferida para a panela deve ser igual à potência conduzida através da parede da panela e à potência perdida por convecção.
Matematicamente, isso fica assim:
P = -k A dTdx|x=0 + h A (Ts - Tágua) á
Onde:
  • k é a condutividade térmica do aço.
  • A é a área da seção transversal da panela.
  • x=0 corresponde à interface onde a condução inicia.

Passo 7

Agora, vamos definir as condições de contorno:
  1. Na superfície de contato com o fogão ( x=0): A potência conduzida pelo calor é igual à potência transferida pelo fogão. Então,
-k dTdx|x=0 = PA
  1. Na superfície superior da panela ( x=L): A transferência de calor ocorre por convecção, então,
-k dTdx|x=L = h (Ts - Tágua) á

Resposta

A formulação matemática do problema em operação permanente é dada pela equação diferencial:
d^2 Tdx^2 = 0
com as seguintes condições de contorno:
  1. Na superfície de contato com o fogão ( x=0):
-k dTdx|x=0 = PA
  1. Na superfície superior da panela ( x=L):
-k dTdx|x=L = h (Ts - Tágua) á

Exercícios relacionados