Considere uma panela de aço usada para ferver água em um fogão elétrico. A seção inferior da panela possui espessura
e um diâmetro
. Uma boca do fogão consome 1250 W de potência durante seu uso, e
do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. A transferência de calor da superfícic superior do fundo da panela para a água ocorre por convecção, com coeficiente de transferência de calor
. Assumindo que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, expresse a formulação matemática (a equação diferencial e as condições de contorno) deste problema de condução de calor durante operação permanente. Não resolva o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre condução de calor, que faz parte da termodinâmica. A situação envolve uma panela de aço no fogão elétrico, e a gente precisa formular matematicamente como o calor se comporta nesse sistema durante o uso constante do fogão. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transferência de calor por condução e convecção, além de aplicar algumas fórmulas básicas dessa matéria.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as características da panela e do fogão que são relevantes para o problema:
- Espessura da panela (
): 0,5 cm (que vamos converter para metros para facilitar os cálculos, ficando ). - Diâmetro da panela (
): 20 cm (ou ). - Potência do fogão: 1250 W, mas apenas 85% desse calor é transferido para a panela. Então, a potência efetiva transferida é
.
Passo 3
Agora, precisamos entender como o calor está sendo transferido. No caso, temos dois modos de transferência:
- Condução de calor através da espessura da panela.
- Convecção de calor da superfície superior do fundo da panela para a água.
Vamos focar na condução de calor primeiro. A condução ocorre de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, e é descrita pela Lei de Fourier.
Passo 4
A Lei de Fourier para condução unidimensional de calor é dada por:
Isso porque, em operação permanente (estado estacionário), a temperatura não muda com o tempo, e a segunda derivada da temperatura em relação à posição é igual a zero.
Passo 5
Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção na superfície superior da panela. A Lei de Newton do Resfriamento nos diz que o calor transferido por convecção é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície e o ambiente (neste caso, a água):
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor por unidade de área. -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção. -
é a temperatura na superfície da panela. -
é a temperatura da água.
Passo 6
Para formular a equação diferencial completa, precisamos aplicar o Princípio de Conservação de Energia. A potência total transferida para a panela deve ser igual à potência conduzida através da parede da panela e à potência perdida por convecção.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é a condutividade térmica do aço.k -
é a área da seção transversal da panela.A -
corresponde à interface onde a condução inicia.x=0
Passo 7
Agora, vamos definir as condições de contorno:
- Na superfície de contato com o fogão (
): A potência conduzida pelo calor é igual à potência transferida pelo fogão. Então,x=0
- Na superfície superior da panela (
): A transferência de calor ocorre por convecção, então,x=L
Resposta
A formulação matemática do problema em operação permanente é dada pela equação diferencial:
com as seguintes condições de contorno:
- Na superfície de contato com o fogão (
):x=0
- Na superfície superior da panela (
):x=L