1. Considere uma extensa parede plana de espessura \mathrm{L}=0,4 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}=8,4 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Não há acesso ao lado interno da parede em \mathrm{x}=0, por isso, as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externa da parede em \mathrm{x}=\mathrm{L}, cuja a emissividade é \varepsilon=0,7 troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente médio de transferência de calor \mathrm{h}=14 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, bem como por radiação com as superfícies ao redor que se encontram a uma temperatura média \mathrm{T}_{\mathrm{viz}}=290 \mathrm{~K}. Além disso a temperatura da superfície externa mede \mathrm{T}_{2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor através da parede.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da figura):
  • Espessura da parede: L=0,4\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica (assumida constante): k=8,4\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Superfície externa em x=L:
    • Temperatura da superfície medida: T_2=45^\circ\mathrm{C}.
    • Emissividade da superfície: \varepsilon=0,7.
    • Troca convectiva com o ar ambiente: h=14\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura das superfícies ao redor (para radiação): T_{\rm viz}=290\\ \mathrm{K}.
  • Não há acesso ao lado interno em x=0; as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas.
  • Pressupostos: transferência unidimensional e regime permanente.
O enunciado pede: expressar a equação diferencial que governa a condução de calor na parede e as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Entender a equação diferencial: princípio físico e definição das grandezas relevantes.
  • Em regime permanente e numa direção x (unidimensional), a energia interna de um elemento volumétrico não varia com o tempo, logo o fluxo de calor em x é constante ao longo da parede.
  • Definir o fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) segundo a Lei de Fourier: q''_x(x)= -k\,\frac{dT}{dx}(x).Aqui:
    • q''_x(x) é o fluxo de calor em função de x (unidades \mathrm{W\cdot m^{-2}});
    • k é a condutividade térmica (constante);
    • T(x) é a temperatura no interior da parede, função de x;
    • o sinal negativo vem do fato de que o calor flui espontaneamente de regiões mais quentes para mais frias: se dT/dx>0 (temperatura cresce com x), então q''_x<0 (fluxo no sentido negativo de x).

Passo 3

Derivar a equação diferencial a partir da conservação de energia (regime permanente, sem geração interna).
  • Em regime permanente, o fluxo de calor é constante em x, ou seja \dfrac{d q''_x}{dx}=0.
  • Substituindo a Lei de Fourier: \frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)=0.
  • Como k é constante, isto simplifica para a equação diferencial clássica da condução unidimensional e estacionária (sem geração interna): \frac{d^2 T}{dx^2}=0.
  • Interpretação prática: a temperatura ao longo da espessura é uma função afim (reta) quando não há geração interna e k constante.

Passo 4

Escolher e explicar as condições de contorno físicas possíveis no problema.
  • Situação em x=0 (face interna): o enunciado diz que não há acesso e que as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Isso permite duas formas equivalentes de escrever a condição de contorno, dependendo do que se deseja usar na resolução da equação:
    1. Forma Dirichlet (temperatura conhecida, mas aqui é desconhecida): escrever simplesmente T(0)=T_1,onde T_1 é uma temperatura desconhecida (incógnita). Essa formulação é útil se mais tarde for fornecida T_1 ou for medida.
    2. Forma Neumann (fluxo conhecido): escrever -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=q''_0,onde q''_0 é o fluxo de calor na face interna (incógnita). Esta é a forma mais geral quando a temperatura da face é desconhecida, pois o fluxo através da face é a quantidade que aparece na equação integral de balanço.
  • Observação: tanto T(0)=T_1 quanto a condição com q''_0 descrevem a mesma física se houver informação adicional que relacione T_1 e q''_0. No problema atual, ambas as quantidades são desconhecidas, então uma condição de contorno em x=0 deve ser deixada no formato “incógnita” até que haja mais informação.

Passo 5

Condição de contorno na face externa x=L: explicação física e expressão matemática com convecção e radiação.
  • A face externa em x=L troca calor por convecção com o ar e por radiação com as superfícies vizinhas. A condição de contorno de fluxo naquele ponto é o balanço entre o fluxo que sai do interior por condução e o que é perdido por convecção e radiação para o meio externo.
  • Convecção (Lei de Newton do resfriamento): q''_{\rm conv} = h\left(T(L)-T_\infty\right).Aqui h é o coeficiente convectivo e T_\infty é a temperatura do ar (ambiente).
  • Radiação (superfície cinza, resistência do ambiente grande, modelagem direta): q''_{\rm rad} = \varepsilon\,\sigma\!\left(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\right),onde \varepsilon é a emissividade da superfície, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T_{\rm viz} é a temperatura das superfícies ao redor (todas em Kelvin). Valor numérico de \sigma: \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
  • Balanço de fluxos na face externa: o fluxo condutivo que chega à superfície (dado por Fourier) deve ser igual à soma dos fluxos convectivo e radiativo que saem para o meio: -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr) + \varepsilon\,\sigma\!\bigl(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\bigr).
  • No caso particular deste enunciado, a temperatura da superfície externa foi medida: T(L)=T_2=45^\circ\mathrm{C}. Assim, duas formas de aplicar a condição em x=L são possíveis:
    1. Usar a temperatura medida como condição Dirichlet: T(L)=T_2.
    2. Ou usar o balanço de fluxo (Neumann mista) expresso acima. Se T_2 foi medida, então a condição Dirichlet e o balanço de fluxo são consistentes entre si (o balanço dá o valor do fluxo condutivo correspondente àquela T_2).

Passo 6

Resumo formal das equações e condições de contorno (organizado e pronto para uso em resolução).
  • Equação diferencial (regime permanente, 1D, k constante): \frac{d^2 T}{dx^2}=0,\qquad 0<x<L.
  • Condição de contorno em x=0 (incógnita, duas formas possíveis): \text{(i)}\quad T(0)=T_1\quad(\text{incógnita})óou \text{(ii)}\quad -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=q''_0\quad(\text{incógnito}).ó
  • Condição de contorno em x=L (usar a forma conveniente):
    • se usar temperatura medida: T(L)=T_2=45^\circ\mathrm{C};
    • se usar o balanço de fluxo (forma mista, convecção + radiação): -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr) + \varepsilon\,\sigma\!\bigl(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\bigr).

Resposta

\frac{d^2 T}{dx^2}=0,\qquad 0<x<L.
\text{Em }x=0:\quad \text{ou }T(0)=T_1\\ (\text{incógnita})\quad\text{ou}\quad -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=q''_0\\ (\text{incógnito}).óó
\text{Em }x=L:\quad T(L)=T_2=45^\circ\mathrm{C}\quad\text{(medida)}
ou, alternativamente,
\text{em }x=L:\quad -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr) + \varepsilon\,\sigma\!\bigl(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\bigr).

Exercícios relacionados