Considere uma extensa parede plana de espessura \mathrm{L}=0,4 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}=8,4 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Não há acesso ao lado interno da parede em \mathrm{x}=0, por isso, as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externa da parede em \mathrm{x}=\mathrm{L}, cuja a emissividade é \varepsilon=0,7 troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente médio de transferência de calor \mathrm{h}=14 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, bem como por radiação com as superfícies ao redor que se encontram a uma temperatura média \mathrm{T}_{\mathrm{viz}}=290 \mathrm{~K}. Além disso a temperatura da superfície externa mede \mathrm{T}_{2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor através da parede.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da figura):
Temperatura da superfície medida: T_2=45^\circ\mathrm{C}.
Emissividade da superfície: \varepsilon=0,7.
Troca convectiva com o ar ambiente: h=14\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.
Temperatura do ar ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
Temperatura das superfícies ao redor (para radiação): T_{\rm viz}=290\\ \mathrm{K}.
Não há acesso ao lado interno em x=0; as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas.
Pressupostos: transferência unidimensional e regime permanente.
O enunciado pede: expressar a equação diferencial que governa a condução de calor na parede e as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Entender a equação diferencial: princípio físico e definição das grandezas relevantes.
Em regime permanente e numa direção x (unidimensional), a energia interna de um elemento volumétrico não varia com o tempo, logo o fluxo de calor em x é constante ao longo da parede.
Definir o fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) segundo a Lei de Fourier:q''_x(x)= -k\,\frac{dT}{dx}(x).Aqui:
q''_x(x) é o fluxo de calor em função de x (unidades \mathrm{W\cdot m^{-2}});
k é a condutividade térmica (constante);
T(x) é a temperatura no interior da parede, função de x;
o sinal negativo vem do fato de que o calor flui espontaneamente de regiões mais quentes para mais frias: se dT/dx>0 (temperatura cresce com x), então q''_x<0 (fluxo no sentido negativo de x).
Passo 3
Derivar a equação diferencial a partir da conservação de energia (regime permanente, sem geração interna).
Em regime permanente, o fluxo de calor é constante em x, ou seja \dfrac{d q''_x}{dx}=0.
Substituindo a Lei de Fourier:\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)=0.
Como k é constante, isto simplifica para a equação diferencial clássica da condução unidimensional e estacionária (sem geração interna):\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Interpretação prática: a temperatura ao longo da espessura é uma função afim (reta) quando não há geração interna e k constante.
Passo 4
Escolher e explicar as condições de contorno físicas possíveis no problema.
Situação em x=0 (face interna): o enunciado diz que não há acesso e que as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Isso permite duas formas equivalentes de escrever a condição de contorno, dependendo do que se deseja usar na resolução da equação:
Forma Dirichlet (temperatura conhecida, mas aqui é desconhecida): escrever simplesmenteT(0)=T_1,onde T_1 é uma temperatura desconhecida (incógnita). Essa formulação é útil se mais tarde for fornecida T_1 ou for medida.
Forma Neumann (fluxo conhecido): escrever-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=q''_0,onde q''_0 é o fluxo de calor na face interna (incógnita). Esta é a forma mais geral quando a temperatura da face é desconhecida, pois o fluxo através da face é a quantidade que aparece na equação integral de balanço.
Observação: tanto T(0)=T_1 quanto a condição com q''_0 descrevem a mesma física se houver informação adicional que relacione T_1 e q''_0. No problema atual, ambas as quantidades são desconhecidas, então uma condição de contorno em x=0 deve ser deixada no formato “incógnita” até que haja mais informação.
Passo 5
Condição de contorno na face externa x=L: explicação física e expressão matemática com convecção e radiação.
A face externa em x=L troca calor por convecção com o ar e por radiação com as superfícies vizinhas. A condição de contorno de fluxo naquele ponto é o balanço entre o fluxo que sai do interior por condução e o que é perdido por convecção e radiação para o meio externo.
Convecção (Lei de Newton do resfriamento):q''_{\rm conv} = h\left(T(L)-T_\infty\right).Aqui h é o coeficiente convectivo e T_\infty é a temperatura do ar (ambiente).
Radiação (superfície cinza, resistência do ambiente grande, modelagem direta):q''_{\rm rad} = \varepsilon\,\sigma\!\left(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\right),onde \varepsilon é a emissividade da superfície, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T_{\rm viz} é a temperatura das superfícies ao redor (todas em Kelvin). Valor numérico de \sigma:\sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
Balanço de fluxos na face externa: o fluxo condutivo que chega à superfície (dado por Fourier) deve ser igual à soma dos fluxos convectivo e radiativo que saem para o meio:-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr) + \varepsilon\,\sigma\!\bigl(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\bigr).
No caso particular deste enunciado, a temperatura da superfície externa foi medida: T(L)=T_2=45^\circ\mathrm{C}. Assim, duas formas de aplicar a condição em x=L são possíveis:
Usar a temperatura medida como condição Dirichlet:T(L)=T_2.
Ou usar o balanço de fluxo (Neumann mista) expresso acima. Se T_2 foi medida, então a condição Dirichlet e o balanço de fluxo são consistentes entre si (o balanço dá o valor do fluxo condutivo correspondente àquela T_2).
Passo 6
Resumo formal das equações e condições de contorno (organizado e pronto para uso em resolução).
Equação diferencial (regime permanente, 1D, k constante):\frac{d^2 T}{dx^2}=0,\qquad 0<x<L.
Condição de contorno em x=0 (incógnita, duas formas possíveis):\text{(i)}\quad T(0)=T_1\quad(\text{incógnita})óou\text{(ii)}\quad -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=q''_0\quad(\text{incógnito}).ó
Condição de contorno em x=L (usar a forma conveniente):
se usar temperatura medida:T(L)=T_2=45^\circ\mathrm{C};
se usar o balanço de fluxo (forma mista, convecção + radiação):-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_\infty\bigr) + \varepsilon\,\sigma\!\bigl(T(L)^4 - T_{\rm viz}^4\bigr).