1. Considere uma parede plana com espessura \mathrm{L}=0,3 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}=2,5 \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes de \mathrm{T}_{1}=200^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{2}=50^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, como ilustrado na figura abaixo. Determine a equação do calor e as condições de contorno para esse problema.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da parede: L=0,3\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica: k=2{,}5\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
    • Temperaturas mantidas nas faces: \,T_1=200^\circ\mathrm{C}\, na face de x=0 e \,T_2=50^\circ\mathrm{C}\, na face de x=L.
    • Geometria: parede plana e fina no sentido x, eixo x indo de 0 (lado esquerdo) a L (lado direito). (A figura indica isso.)
  • O enunciado pede:
    • Determinar a equação do calor aplicável a este problema.
    • Determinar as condições de contorno apropriadas para o problema.

Passo 2

Definir as hipóteses físicas e as variáveis (isso é importante para saber qual forma da equação do calor usar).
  • Hipóteses razoáveis para este problema (explicação curta do porquê):
    • Condução unidimensional: as variações de temperatura são relevantes somente na direção x (as faces são grandes e mantidas uniformemente, então variações nas outras direções são desprezíveis).
    • Material homogêneo e isotrópico com propriedades constantes: k, densidade \rho e calor específico c constantes no espaço e no tempo.
    • Não há geração volumétrica de calor interna (se o problema não disser o contrário).
    • As superfícies x=0 e x=L são mantidas a temperaturas constantes dadas.
  • Variável temperatura: T=T(x,t), função da posição x e do tempo t.
  • Observação: para um problema de regime permanente (steady state) a dependência temporal some e a equação simplifica. Se o problema pedir só a equação e as condições de contorno, apresentamos a forma geral (transiente) e a forma em regime permanente.

Passo 3

Escrever a equação do calor em 1D (forma geral transiente) e explicar cada termo.
  • A equação geral da condução de calor em uma dimensão espacial é, assumindo propriedades constantes,
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\dot{q},
onde:
  • \rho é a densidade do material (unidade: \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}),
  • c é o calor específico (unidade: \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}),
  • k é a condutividade térmica (unidade: \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}),
  • \dot{q} é a geração volumétrica de calor (unidade: \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-3}),
  • \partial T/\partial t é a variação temporal da temperatura,
  • \partial^{2}T/\partial x^{2} expressa a curvatura espacial do campo de temperatura.
  • Para este enunciado não foi informada geração interna, então toma-se \dot{q}=0. Assim a equação transiente fica
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}.
  • Se o interesse é o regime permanente (estado estacionário), então \partial T/\partial t=0 e a equação reduz-se a
\frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{d} x^{2}}=0.

Passo 4

Especificar as condições de contorno e condição inicial (necessária para o problema transiente), e explicar o que cada uma significa.
  • Condições de contorno (BCs) proporcionadas pelo enunciado — temperaturas prescritas nas faces (condições de Dirichlet):
    • Em x=0: \;T(0,t)=T_{1}=200^\circ\mathrm{C}.
    • Em x=L: \;T(L,t)=T_{2}=50^\circ\mathrm{C}.
      Essas BCs significam que as duas superfícies são mantidas a temperaturas constantes conhecidas para todo t.
  • Condição inicial (necessária se for resolver transiente):
    • \;T(x,0)=T_{i}(x), onde T_{i}(x) é a distribuição inicial de temperatura (não fornecida no enunciado; deve ser especificada pelo problema ou assumida, por exemplo, T_{i}(x)=T_{amb} constante).
  • Observação: com as BCs de Dirichlet em ambas as faces, a solução transiente tenderá, para t\to\infty, à solução do regime permanente dada pelas BCs.

Passo 5

Resolver a equação em regime permanente (útil para entender o perfil de temperatura que a parede atinge quando as superfícies são mantidas) — derivação passo a passo.
  • Equação em regime permanente:
\frac{\mathrm{d}^{2}T}{\mathrm{d}x^{2}}=0.
  • Integração uma vez:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante (a inclinação da temperatura).
  • Integração outra vez:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante.
  • Aplicar as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}:
    • Em x=0: T(0)=C_{2}=T_{1}\Rightarrow C_{2}=T_{1}.
    • Em x=L: T(L)=C_{1}L+T_{1}=T_{2}\Rightarrow C_{1}=\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}.
  • Assim o perfil de temperatura em regime permanente é (expressão final):
T(x)=T_{1}+\left(\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\right)x.
  • Substituindo os valores numéricos fornecidos:
    • \,T_{1}=200^\circ\mathrm{C},\;T_{2}=50^\circ\mathrm{C},\;L=0,3\\ \mathrm{m}.
    • Então
    T(x)=200^\circ\mathrm{C}+\left(\dfrac{50-200}{0,3}\right)x =200^\circ\mathrm{C}-\left(\dfrac{150}{0,3}\right)x =200^\circ\mathrm{C}-500\,x\quad(\text{com }x\text{ em metros}).
    • Exemplo numérico: no meio da parede x=L/2=0,15\\ \mathrm{m},
    T\left(\tfrac{L}{2}\right)=200-500\cdot0,15=200-75=125^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor (por unidade de área) em regime permanente e interpretar o sinal.
  • Lei de Fourier em 1D:
q_x(x)=-k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x},
onde q_x é o fluxo de calor (unidade: \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}), positivo no sentido positivo de x se o resultado for positivo.
  • Para o perfil linear acima, a derivada é constante:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}=\frac{50-200}{0,3}=-500\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}.
  • Portanto o fluxo de calor é
q_x=-k\left(\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\right)=-2{,}5\cdot(-500)=1250\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.
  • Interpretação: q_x=1250\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} positivo significa que o calor flui no sentido positivo de x, ou seja, da face quente (esquerda) para a face fria (direita). A potência total transferida é \dot{Q}=q_x\cdot A se a parede tiver área A.

Resposta

Equação do calor (transiente, 1D, propriedades constantes sem geração interna):
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}},\qquad 0<x<L,\;t>0.
Condições de contorno (prescritas pelo enunciado — Dirichlet):
T(0,t)=T_{1}=200^\circ\mathrm{C},\qquad T(L,t)=T_{2}=50^\circ\mathrm{C}.
Condição inicial (necessária para problema transiente; não fornecida no enunciado):
T(x,0)=T_{i}(x)\quad\text{(a ser especificada)}.
Regime permanente (solução e fluxo de calor):
T(x)=T_{1}+\left(\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\right)x =200^\circ\mathrm{C}-500\,x,
q_x=-k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=1250\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}.

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