- Considere uma parede plana com espessura
e condutividade térmica
. Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes de
e
, respectivamente, como ilustrado na figura abaixo. Determine a equação do calor e as condições de contorno para esse problema.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica:
. - Temperaturas mantidas nas faces:
na face de e na face de . - Geometria: parede plana e fina no sentido
, eixo indo de (lado esquerdo) a (lado direito). (A figura indica isso.)
- Espessura da parede:
- O enunciado pede:
- Determinar a equação do calor aplicável a este problema.
- Determinar as condições de contorno apropriadas para o problema.
Passo 2
Definir as hipóteses físicas e as variáveis (isso é importante para saber qual forma da equação do calor usar).
- Hipóteses razoáveis para este problema (explicação curta do porquê):
- Condução unidimensional: as variações de temperatura são relevantes somente na direção
(as faces são grandes e mantidas uniformemente, então variações nas outras direções são desprezíveis). - Material homogêneo e isotrópico com propriedades constantes:
, densidade e calor específico constantes no espaço e no tempo. - Não há geração volumétrica de calor interna (se o problema não disser o contrário).
- As superfícies
e são mantidas a temperaturas constantes dadas.
- Condução unidimensional: as variações de temperatura são relevantes somente na direção
- Variável temperatura:
, função da posição e do tempo . - Observação: para um problema de regime permanente (steady state) a dependência temporal some e a equação simplifica. Se o problema pedir só a equação e as condições de contorno, apresentamos a forma geral (transiente) e a forma em regime permanente.
Passo 3
Escrever a equação do calor em 1D (forma geral transiente) e explicar cada termo.
- A equação geral da condução de calor em uma dimensão espacial é, assumindo propriedades constantes,
onde:
-
é a densidade do material (unidade: ), -
é o calor específico (unidade: ), -
é a condutividade térmica (unidade: ), -
é a geração volumétrica de calor (unidade: ), -
é a variação temporal da temperatura, -
expressa a curvatura espacial do campo de temperatura. - Para este enunciado não foi informada geração interna, então toma-se
. Assim a equação transiente fica
- Se o interesse é o regime permanente (estado estacionário), então
e a equação reduz-se a
Passo 4
Especificar as condições de contorno e condição inicial (necessária para o problema transiente), e explicar o que cada uma significa.
- Condições de contorno (BCs) proporcionadas pelo enunciado — temperaturas prescritas nas faces (condições de Dirichlet):
- Em
: - Em
:
Essas BCs significam que as duas superfícies são mantidas a temperaturas constantes conhecidas para todo.
- Em
- Condição inicial (necessária se for resolver transiente):
-
, onde é a distribuição inicial de temperatura (não fornecida no enunciado; deve ser especificada pelo problema ou assumida, por exemplo, constante).
-
- Observação: com as BCs de Dirichlet em ambas as faces, a solução transiente tenderá, para
, à solução do regime permanente dada pelas BCs.
Passo 5
Resolver a equação em regime permanente (útil para entender o perfil de temperatura que a parede atinge quando as superfícies são mantidas) — derivação passo a passo.
- Equação em regime permanente:
- Integração uma vez:
onde
é uma constante (a inclinação da temperatura).
- Integração outra vez:
onde
é outra constante.
- Aplicar as condições de contorno para determinar
e : - Em
: - Em
:
- Em
- Assim o perfil de temperatura em regime permanente é (expressão final):
- Substituindo os valores numéricos fornecidos:
-
- Então
- Exemplo numérico: no meio da parede
,
-
Passo 6
Calcular o fluxo de calor (por unidade de área) em regime permanente e interpretar o sinal.
- Lei de Fourier em 1D:
onde
é o fluxo de calor (unidade:
), positivo no sentido positivo de
se o resultado for positivo.
- Para o perfil linear acima, a derivada é constante:
- Portanto o fluxo de calor é
- Interpretação:
positivo significa que o calor flui no sentido positivo de , ou seja, da face quente (esquerda) para a face fria (direita). A potência total transferida é se a parede tiver área .
Resposta
Equação do calor (transiente, 1D, propriedades constantes sem geração interna):
Condições de contorno (prescritas pelo enunciado — Dirichlet):
Condição inicial (necessária para problema transiente; não fornecida no enunciado):
Regime permanente (solução e fluxo de calor):