Considere f:[a, b] R uma função contínua, tal que
f(a) f(b)<0
Mostre que f possui, pelo menos, uma raiz real, dando justificativas.

Passo 1

O enunciado diz que f:[a,b]toR é contínua e que
f(a),f(b)<0,
ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos. Queremos mostrar que existe pelo menos um cin(a,b) tal que
f(c)=0
O conteúdo teórico-chave é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário).

Passo 2

Como f(a),f(b)<0, sem perda de generalidade podemos assumir
f(a)<0< f(b)
(se estivesse ao contrário, basta inverter os papéis de a e b).

Passo 3

Definimos o conjunto
S = ,xin[a,b]mid f(x)<= 0
Note que
  1. ain S, pois f(a)<0, logo Sneqvarnothing.
  2. Ssubset[a,b] implica que S é limitado superiormente por b.
Pela propriedade de completude de R, existe
c = sup S,
e como ain S e bnotin S (pois f(b)>0), segue que
a <= c < b
ou seja, cin(a,b).

Passo 4

Como f é contínua em c, vale
limxto cf(x)=f(c)
Por um lado, se x<c então xin S, logo f(x)<=0 e passando ao limite pela esquerda obtemos
f(c)<=0
Por outro lado, se x>c suficientemente próximo, então xnotin S e assim f(x)>0, de onde passando ao limite pela direita segue
f(c)>=0
Concluímos que
f(c)=0

Resposta

A função f possui pelo menos uma raiz em algum ponto cin(a,b), ou seja, existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

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