Considere
uma função contínua, tal que
Mostre que
possui, pelo menos, uma raiz real, dando justificativas.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e que
ou seja,
e
têm sinais opostos. Queremos mostrar que existe pelo menos um
tal que
O conteúdo teórico-chave é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário).
Passo 2
Como
, sem perda de generalidade podemos assumir
(se estivesse ao contrário, basta inverter os papéis de
e
).
Passo 3
Definimos o conjunto
Note que
-
, pois , logo . -
implica que é limitado superiormente por .
Pela propriedade de completude de
, existe
e como
e
(pois
), segue que
ou seja,
.
Passo 4
Como
é contínua em
, vale
Por um lado, se
então
, logo
e passando ao limite pela esquerda obtemos
Por outro lado, se
suficientemente próximo, então
e assim
, de onde passando ao limite pela direita segue
Concluímos que
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz em algum ponto
, ou seja, existe
tal que
.