Considere f função contínua.
Calcule dd x integral-x^x^2 e^-t d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da integral com limites dependentes de x de uma função contínua f, aqui f(t)=e^{-t}. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra de Leibniz para derivada de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Segundo a Regra de Leibniz, se temos I(x)=integrala(x)^b(x)g(t),dt, então
I'(x)=gl(b(x)r),b'(x)-gl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso identificamos:
g(t)=e^-t
a(x)=-x, logo a'(x)=-1
b(x)=x^2, logo b'(x)=2x

Passo 4

Substituindo na fórmula de Leibniz:
ddxintegral-x^x^2e^-t,dt=e^-l(x^2r)cdot(2x)-e^-(-x)cdot(-1)

Passo 5

Repare que e^-(-x)=e^x e o segundo termo fica -e^xcdot(-1)=+e^x. Portanto a derivada é
2x,e^-x^2+e^x

Resposta

2x,e^-x^2+e^x

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